Question

已知抛物线x^2=2py（p＞0)的焦点F恰好是双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1

已知抛物线x^2=2py（p＞0)的焦点F恰好是双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该曲线的离心率是多少？

Answer 1

解：抛物线x^2=2py（p＞0)的焦点F的坐标为（0，p/2)
因为双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的焦点的坐标为（0，c)
c=p/2
设双曲线和抛物线交于A 、B两点，AB的连线经过F
由双曲线和抛物线的对称性知道A、B两点必定关于Y轴对称

即A、B的纵坐标相同 AB平行X轴，
设A、B坐标为（-x0,y0),(x0,y0)
又F在AB上，所以A、B的纵坐标与F相同
即y0=p/2
因为A、B在抛物线上
把A、B坐标代入抛物线方程得x0^2=2py0
解得x0=p
将xo,y0代入双曲线方程得y0^2/a^2-x0^2/b^2=1①
因为a^2+b^2=c^2
所以b^2=c^2-a^2代入①得
y0^2/a^2-x0^2/(c^2-a^2)=1②
又因为c=p/2 所以 p=2c
则y0=p/2=c xo=p=2c
代入②得
c^2/a^2-(2c)^2/(c^2-a^2)=1
化简得
c^2/a^2-4c^2/(c^2-a^2)=1
分数上下同除以a^2得
(c/a)^2-4(c/a)^2/[(c/a)^2-1]=1③
因为e=c/a将它代入③得：
e^2-4e^2/(e^2-1)=1
移项得
e^2-1=4e^2/(e^2-1）
分子上变形得
e^2-1=[（4e^2-4）+4]/(e^2-1）
即e^2-1=[4（e^2-1）+4]/(e^2-1）
令e^2-1=t则方程变形为
t=(4t+4)/t
整理后得：
t^2=4t+4
解这个一元二次方程得t=2+2√2.（另外负根不合题意舍去）
所以e^2-1=t=2+2√2
即
e^2=2+2√2+1=（√2)^2+2√2+1=(√2+1)^2
所以
e=√2+1

Answer 2

1+√2.