Question

【高数基础求助】导数、偏导数问题

1、f (x) 可导→f (x) 连续 ，f ' (x)可导→f ' (x)连续 ，为什么我感觉（我找不到反例） ：f (x) 可导→f ‘ (x) 连续呢，谁能举个反例？
2、“z=f (x，y) 的二阶偏导数连续→z的二阶混合偏导数相等”，这个定理应该是可以推出z是可微的吧？
3、谁能说说“f ’(x)存在”和“f ‘(x)连续”的区别。
4、“f ’（x）在Xo处有奇点”是说“f ‘（x）在Xo处不连续”还是指“f（x）在Xo处不可导”（最好举个例子说明一下）
5、再问一下“limf '（x) ，x→Xo，”和f ’（Xo）”是个什么关系（如果这2个东西相等就是连续关系？）。
6、z=f (x，y) “二阶偏导数*连续*”能不能推出它的“一阶偏导数连续”？
7、z=f (x，y) “二阶偏导数*存在*”能不能推出它的“一阶偏导数连续”？
8、z=f (x，y) “二阶偏导数*连续*”能不能推出它的“可微”？
9、z=f (x，y) “二阶偏导数*连续*”能不能推出它的“可微”？（以上4问请说明出处）

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Answer 1

让我来给你说说吧！
1.可导必连续 连续却不一定可导!(应该记得烂熟) 可导 是说的任意点可导 既然任意点可导了 那函数当然连续了 这个好理解的 反过来 连续却不一定可导 记死 Y=/X/ 在X=0处的反例就行了!对于f (x) 可导→f'(x) 连续这个问题 肯定是不对的 因为上面刚刚说的 函数可导 只能推出这个函数连续 不能说这个函数的导函数连续 反例:Y=lnX 显然它是连续的 但是呢 f'(X)=1/X显然在X=0处间断(无穷间断点) 第一个问题解决了
2.你要弄清一个概念 要想得到可微 必须要使得函数的一阶偏导数连续 你说的条件:二阶偏导数都连续了 那一阶偏导数肯定连续撒 所以可以推出Z可微 至于你所说的混合偏导数相等 和可微完全无关 它是偏导数的一个定理 第二个问题解决了
3.这个最简单了 呵呵 存在只用找到一个就行 而连续的条件更高 比如还是说这个例子:Y=lnX
它的导数肯定存在 但是它的导函数不连续 换句话说 “f ‘(x)连续”成立 则必有“f ’(x)存在” 但是反过来 就不一定了~第三个问题解决了
4.把奇点的定义搞清楚就可以了 奇点在数学中的定义是分母为0的点 那么如果说“f ’（x）在Xo处有奇点” 则必定有“f ‘（x）在Xo处不连续” 至于“f（x）在Xo处不可导”这个问题 你可以自己好好想一下 举几个例子 就拿我前面反复说过的Y=lnX 吧 你看X=0处连定义都没有 还用谈可导不可导吗 或者你再举几个 比如 Y=1/(X-3) 什么的 都是一样的结果 第4个问题解决了
5.要想从“limf '（x) ，x→Xo，”之中 得到f ’（Xo）” 那么必须要f(x)的一阶导函数连续 否则不能直接代入 必须通过导数的定义计算的 注意哦 这个知识点很爱考 一般在选择填空中出现的 好好想想 是不是这样的 第五个问题解决了
6.呵呵 肯定可以撒 记住 高推低 都是可以的 原理给你说下 这类问题都是这样想啊 来 听着 “二阶偏导数*连续*” 则必有二阶偏导数处处存在 则必有一阶偏倒数连续 反过来想下 如果不是这样 如何从一阶求到二阶呢? 那不是要处处考虑是否存在无定义的点吗? 既然2阶连续了 那么1阶必连续 所以这个是肯定推得出来的 第六个问题解决了
7. 这个问题不一定的 你想这个判判问题是不是可以转化为这样:一阶偏到导数存在 能否得到一阶函数连续? 很简单吧 显然不一定撒 左偏右偏都存在 但是不等 偏导数都不存在了(假设一个分段函数来想) 谁知道函数连不连续呢 第7个问题解决了
8.可微很简单 你前面也问过 把握一点 记死它:必须是一阶偏导数连续 才能推出掘培改可微!这个很重要哦 经常考的 选择里面的小分支选项 这个搞清楚了 再来看你的问题 是不是很简单 前面已经说了 二阶偏导数*连续 可以得到一阶偏也连续 那么就可微撒 第8个问题解决了
OK了 第九个问题和第八个问题是一样的
最后几个问题的出处 呵呵 书上 你多看书 书上没直接给出定理 但是你把内容读透读懂 就是我说的这些~ GOOD LUCK~
我来补充啦中返
首先我澄清一下 呵呵 特别是对于 zxathlon 这个朋友 我说的一些方法不是我自学的 是考研培训班的蔡子华和李永乐老师说的 如果不肯定的话 我不会在这里说 至于其他的话 我也没zxathlon这个朋友说得“周到” 也没他想得“周到” 还是那句话 如果我说的有错的话 尽请谅解 谁说的都不算 只有书说了算 多看下说 理解下 说得再多 也只有参考的意义~ GOOD LUCK~

Answer 2

1 f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.
f′(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x),(x≠0时)，f′(0)=0.
f′(x)在x=0不伏茄则连续。
2 偏导连续必定可微缺棚，但反过来不一定
3 存纳搭在就是左右导数相等，连续就是导函数满足连续定义
4 奇点一般是指不可导点，比如｜x｜在x＝0处

Answer 3

楼上的同学喜欢循循善诱，值得夸奖。但是却有讲着讲着就不清楚和范错误的地方。为什么又有一元的又有二元的？你是在自学吗？呵呵
我就补充一下吧。。助人为乐
1.可导和连续的关系楼上的兄弟解释的还算正确。但是楼主问的是“f (x) 可导→f ‘ (x) 连续”的反例，楼上的Y=/X/ 在X=0处不可导。
举个例子：y=x^2*sin(1/x)，x不等于0,补充定义y(0)=0,则此函数处处可导，但在x=0处导函数不连续。因为导函数趋于零时无极限，而y‘（0）用定义知道是等于0的。
2.偏导胡派数连续的概念强于可微，可微强于自己的连续，如楼上所说，从高阶往低阶一步步推理。混合偏导数相等不能从一阶偏导数可微推出来，弱了，但能从二阶偏导数连续推出。
3。4。5楼上说了很多了，都是连续的基本概念，朋友你要认真看书啊，都是定义层面的东西啊！
6.楼上这里有错：“来 听着 “二阶偏导数*连续*” 则必有二阶偏导数处处存在 则必有一阶偏倒数连续 ”。正确的逻辑是从二阶偏导数连续推得一阶偏导数可微则连续。“二阶偏导数处处存在 则必有一阶偏倒数连续，反过来想下 如果不是这样 如何并老从一阶求到二阶呢? 那不是要处处考虑是否存在无定义的点吗? ”：这是典型错误逻辑，楼上说着说着就错了呵呵。

7题就是同上。
8.“记死它:必须是一阶偏导数连续 才能推出可微!”应试做题可以用，但是记住了这可不是充要条件哈！“必须”二字看做楼上一裤蔽贺片善心，~~~~
祝你学习快乐！平时和同学多讨论能收获很多，这些都是基本问题，讨论能加深记忆和理解！不过感觉你是自学，如果中学老师水平还可以平时多问问老师吧。