Question

一道线性代数题，看看我哪里错了

已知detA=-1,A是正交阵，求证-1是A的特征值。（detA是A 的行列式）
证：以下用A’t’代表A的转置矩阵。
A是正交阵，所以A’t’A=E
设m是A的特征值，x是对应的特征向量。
则有Ax=mx, (Ax)’t’=（mx）’t’=mx’t’
所以(Ax)’t’Ax=mx’t’mx=m*mx’t’x
又因为(Ax)’t’Ax=x’t’A’t’Ax=x’t’x
所以有m*mx’t’x=x’t’x即(m*m-1)=0
解得m=1或-1
哪里错了？没有用到detA=-1

Answer 1

就是因为你少用一个条件，才多解出了一个m=1.
先说本题的正统解法，再分析你的做法的问题，进而在你的方法上改进得到正确解答。

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正解：
由于A是正交阵， (A't')*A=A*(A't')=E
E表示单位阵。

那么：
A+E = A+A*(A't') = A(E+A't')...............<1>
对上式两边取行列式：
|A+E| = |A(E+A't')| = |A|*|E+A't'| = -|E+A't'|................<2>
由于|E+A't'| = |[(E't')+A]'t'| = |(E't')+A| = |E+A|..................<3>
将<3>代入<2>：
|A+E| = -|A+E|
所以|A+E|=0，即|A-(-1)E|=0，那么-1是A的特征值。

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你的解法过程没错，只是没用到det(A)=-1，加上这个条件就能同样得到答案。
你现在得到的结论：-1或1是特征值
题目要证明的结论：-1是特征值

我们发现，你得到的结论共有3种情况：
（1）-1是特征值，1不是特征值
（2）1是特征值，-1不是特征值
（3）-1和1都是特征值
其中（2）的情况-1就不是特征值了，如果（2）的情况发生，那你的证明就不对了。
现在我们就用det(A)=-1这个条件来把（2）排除掉。
由于A是正交矩阵，所以A的特征值只能是-1或1，不能是其他数了。那么假设A的特征值里没有-1，势必特征值是全1，此时|A|=1,与题意矛盾，所以我们就排除了（2）这种情况。
这样一来你的证明也就对了。

Answer 2

对啊，你的证明是没用到detA=-1，但是你也没证明-1是A的特征值啊
有可能1是A的全部特征值
因为正交阵的特征值只能是1或-1，所以你能得出m=1或-1