Question

线性代数题目求解……

题目1：
设A 是3 阶矩阵，A-1（A的逆）的特征值是1，2，3，
求 A11+ A22+ A33 的值。

题目2：
3 阶矩阵A ，第2 列为[1，1，1]T，已知A 的特征值是2，1，-1，
求 A11A23- A21A13 的值。

希望能给些指点，或特征值在题目求解中的常用特性……

先谢过！

Answer 1

题目1：A 是3 阶矩阵，A-1（A的逆）的特征值是1，2，3，
可以得出A的行列式的值是1/6。伴随矩阵是特征值是1/6,2/6,3/6.
A11+ A22+ A33 == 1/6+2/6+3/6==1（特征值的性质）

题目2：
（1）将A按第2列展开得A12+A22+A32==-2
(2) 将A的第1列全部换为1后将新行列式按第1列展开得A11+A21+A31==0
(3) 将A的第3列全部换为1后将新行列式按第3列展开得A13+A23+A33==0
（4）伴随矩阵的行列式的值为4
（5）将A的伴随矩阵的第一列和第2列加到第3列上，行列式的值不变
（6） 可以看到第3列的值分别为 A11+A21+A31，A12+A22+A32，A13+A23+A33
（7） 将第1，2，3步的值代入，得第3列为（0，-2，0）的转置
（8）将上步所得行列式展开得-2*(A11A23- A21A13)==4
(9) 即可得出结论 A11A23- A21A13 =-2

Answer 2

晕了，不好意思哦，不会