Question

高手救命:问大家一道高中立体几何题

1.在四面体ABCD中，M、N分别是△ABC，△ACD的重心
求证:(1)MN//平面ABD
(2)若BD垂直DC,MN垂直AD,则BD垂直AC

Answer 1

1，连结CM CN并延长，交AB AD于E F,连结EF
∵M、N分别是△ABC，△ACD的重心
∴E F 是AB AD的中点，EF就是△ABD的中位线。
∴EF‖BD.
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
∴CM∶ME=CN∶NF=2∶1 ∴MN‖EF
∵MN‖EF EF‖BD ∴MN‖BD
∵BD在面ABD上，∴MN//平面ABD

2，∵MN⊥AD BD‖MN
∴BD⊥AD ∵BD⊥CD CD AD相交于D
∴BD⊥面ADC ∵AC在面ACD上
∴BD⊥AC

Answer 2

（1）要证明直线平面平行，就是要找到平面里的一条直线与原直线平行
步骤楼上已经说的很好了
（2）（连结CM CN并延长，交AB AD于E F,连结EF）
由于MN//平面ABD，EF//MN EF//BD 又因为MN⊥AD 则MN//BD
BD⊥DC 则BD⊥AD 因此BD⊥平面ADC（定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）
所以BD⊥AC
今天偶尔来逛逛知道，看到了曾经自己很感兴趣的立体几何，楼主还是要好好熟悉常用的定理和推理，你可以多证明一些简单的题，由容易但难 这样就可以好好掌握它了