Question

有关函数的一道证明题

设函数y=f(x)的定义域为R,当x>0时，f(x)>1,且对任意实数a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b)恒成立
1.证明f(x)恒为正
2.证明f(x)为增函数

Answer 1

(1)设x+b>0,x<=0,b>0;
易得 f(x+b)>0且f(b)>0
因为f(x+b)=f(x)f(b);
所以f(x)>0
即对于x<=0 有f(x)>0;
综合题中所给有
对于R中的x均有f(x)>0;
(2)设a>b,a=b+x;( a,b属于R)
易得x>0;
所以f(x)>1;
又f(a)=f(b+x)=f(b)f(x)
易得f(a)>f(b);
即 f(x)是增函数。

Answer 2

1.证明：当x>0时，显然f(x)>0，当x=0时，f(0)=f(0)^2,所以f(0)=0或者1，由于x>0时，f(x)=f(x)f(0）>1，所以f(0)=1，当x<0时,f(0)=f(x)f(-x)=1,所以f(x)=1/f(-x)，由于x<0,所以-x>0,f(-x)>1,所以0<f(x)<1，所以f(x)恒为正。
2.证明：任意设a>b+c,其中c>0所以f(a)-f(b)=f(c)f(b)-f(b)=f(b)(f(c)-1),由于c>0,所以f(c)>1,f(c)-1>0,又因为f(b)>0，所以f(b)(f(c)-1>0，所以f(a)>f(b)，所以 函数单调递增。