Question

椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,若AB=2√2,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2，求椭圆的方程

如题

Answer 1

设A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)
将x+y=1代入mx²+ny²=1，得(m+n)x²-2nx+n-1=0，(易知m，n＞0)
根据韦达定理有
x1+x2=2n/(m+n)，x1x2=(n-1)/(m+n)
故y1+y2=2-(x1+x2)=2m/(m+n)
AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(1-x1-1+x2)²]
=√[2(x1-x2)²]=√{2[(x1+x2)²-4x1x2]}
=√{2[4n²/(m+n)²-4(n-1)/(m+n)]}
=√[8(m-mn+n)/(m+n)²]=2√2
变形得m-mn+n=(m+n)²
C点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
故[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)=m/n=√2/2
即m=(√2/2)n，代入m-mn+n=(m+n)²得
(√2/2)n-(√2/2)n²+n=[(√2/2)n+n]²
(√2+2)(√2-1)=3n
n=√2/3
m=1/3
故椭圆方程为(1/3)x²+(√2/3)y²=1

Answer 2

解：
设A（x1，y1），B（x2，y2）
mx2+ny2=1…………①
x+y=1………………②

联立①②得：
（m+n）x²-2nx+n-1=0

则：x1+x2=2n/(m+n),x1x2=(n-1)/(m+n)

又AB=√2|x1-x2|=√2×√[（x1+x2）²-4x1x2]

√2×√[（2n/(m+n)）²-4(n-1)/(m+n)]=2√2

整理得：m²+n²+3mn-m-n=0………………………………③

AB中点横坐标为（x1+x2）/2=n/(m+n),

y1=1-x1,y2=1-x2

(y1+y2)/2=(2-x1-x2)/2=1-（x1+x2）/2=1-n/(m+n),

AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2,即：(y1+y2)/（x1+x2）=2√2

也即：m=2√2n……………………………………………④

联立③④解得：m=(32+2√2)/9,n=（8√2+1)/9