Question

F1,F2分别为双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若|

F1,F2分别为双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|²/|PF1|最小值为8a，求双曲线的离心率e的取值范围。

Answer 1

解:∵PF2-PF1=2a,∴PF2=PF1+2a.于是[PF2]^2/[PF1]=(PF1+2a)^2/PF1
=[(PF1)^2+4a(pF1)+4a^2]/PF1=PF1+(4a^2/PF1)+4a≥(2√4a^2)+4a
=8a.当且仅仅当PF1=4a^2/PF1,即(PF1)^2=4a^2,即PF1=2a时等号成立.
故有PF2=PF1+2a=2a+2a=4a.
在△PF1F2中,F1F2=2C,PF1+PF2>F1F2,即4a+2a=6a>2c,∴e=c/a<3.
又PF2-PF1<F1F2,即4a-2a=2a<2c,∴e=c/a>1.
故e的取值范围为1<e<3.

Answer 2

由定义知：｜PF2｜—｜PF1｜＝2a
|PF2|=2a+|PF1|
|PF2|^2/|PF1|=(2a+|PF1|)^2/|PF1|
=4a^2/|PF1|+ 4a+ |PF1|≥8a
当且仅当 4a^2/|PF1|=|PF1|,即 ｜PF1｜＝2a时取得等号
此时有：｜PF1｜=2a ｜PF2｜=4a;
(1)若P点不在x轴上，此时｜PF1｜,｜PF2｜,｜F1F2｜三边所围得三角形关系为：
｜PF2｜-｜PF1｜<｜F1F2｜<｜PF2｜+｜PF1｜
2a<2c<6a，因此1<e<3；
(2)若P点在x轴上，此时显然有:
｜PF1｜=｜-(c-a)｜=｜a-c｜=c-a=2a,所以c=3a,此时e=c/a=3
故综合(1),(2)可得：e属于(1,3]

Answer 3

由双曲线性质：
|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=|PF1|+2a

|PF2|^2/|PF1|=(|PF1|+2a)^2/|PF1|=(4a^2/|PF1|)+4a+|PF1|
仅当且当4a^2/|PF1|=|PF1|，即|PF1|=2a时，有最小值
则|PF2|=4a,△PF1F2中，|F1F2|=2c
∴ (4a-2a)<2c<(4a+2a)
两边同时除以2a得：1<e<3
供参考

Answer 4

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 P为双曲线左支上的任意一点
PF2-PF1=2a 设PF1的长度为X
所以PF2=X+2a
|PF2|²/|PF1|=（X+2a）²/X=X + 4a²/X + 4a
X=4a²/X X=2a |PF2|²/|PF1|最小值为8a
PF2=4a PF1=2a
三角形三边关系可知：
PF2-PF1<F1F2<PF2+PF1
2a<2c<6a
离心率 1 < e < 3

Answer 5

由定义知：｜PF2｜—｜PF1｜＝2a
|PF2|=2a+|PF1|
|PF2|^2/|PF1|=(2a+|PF1|)^2/|PF1|
=4a^2/|PF1|+ 4a+ |PF1|≥8a
当且仅当 4a^2/|PF1|=|PF1|,即 ｜PF1｜＝2a时取得等号

设P(x0,y0) (x0≤-a)
依焦半径公式得：
｜PF1｜＝-e*x0-a=2a
e*x0=-2a
e=-3a/x0≤3, 又双曲线的 e>1
故：e属于(1,3]