一道高中数学圆锥曲线题求解
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,求椭圆中所有长为2的弦的中点的轨迹方程这题若用代点相减法做该怎样做?或者有没简便的解法?...
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,求椭圆中所有长为2的弦的中点的轨迹方程
这题若用代点相减法做该怎样做?或者有没简便的解法? 展开
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设该弦上两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标(x0,y0)
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(一式)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(二式)
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……(三式)
又弦长为2 可得 (x2-x1)^2+(y2-y1)^2=4 将其和(x0,y0)挂钩 可转换成
(x2-x0)^2+(y2-y0)^2=1……(四式)
由(三式) 和(四式) 代换得到
(16y0^2+xo^2)(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 (16y0^2+xo^2)(y2-yo)^2=x0^2……(六式)
此时只需要将x2,y2消去便可得到中点方程
由 将(五式)+(六式)*4,得到
(16y0^2+xo^2)[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……(七式)
最后 将(二式)和(三式)代入(七式) 便可得到关于中点的方程
(16y0^2+xo^2)(16-x0^2-4y0^2)=16y0^2+4x0^2
应该这么做吧 呵呵
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(一式)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(二式)
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……(三式)
又弦长为2 可得 (x2-x1)^2+(y2-y1)^2=4 将其和(x0,y0)挂钩 可转换成
(x2-x0)^2+(y2-y0)^2=1……(四式)
由(三式) 和(四式) 代换得到
(16y0^2+xo^2)(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 (16y0^2+xo^2)(y2-yo)^2=x0^2……(六式)
此时只需要将x2,y2消去便可得到中点方程
由 将(五式)+(六式)*4,得到
(16y0^2+xo^2)[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……(七式)
最后 将(二式)和(三式)代入(七式) 便可得到关于中点的方程
(16y0^2+xo^2)(16-x0^2-4y0^2)=16y0^2+4x0^2
应该这么做吧 呵呵
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[x^2+16y^2+4]*[4y^2-x^2+16]=64.
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解:设该弦上两点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点坐标(x0,y0)
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(1)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(2)
(2)减 (1)得 (x2-x1)x0/8=-(y2-y1)y0/2,
直线AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-x0/4y0。
又由(y2-y1)^2+(x2-x1)^2=4得(x0)^2/(4y0)^2+1=4/(x2-x1)^2.
过A、B两点的直线方程为y-y0=k(x-x0)及k=-x0/4y0代入x^2/16+y^2/4=1中,利用韦达定理得x1+x2=2x0,x1*x2=[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2).
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4x0^2-4[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)
=4{x0^2-[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)}.
代入(x0)^2/(4y0)^2+1=4/(x2-x1)^2并化简,得
x0^4-8x0^2+4x0^2y0^2+32y0^2=64.
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(1)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(2)
(2)减 (1)得 (x2-x1)x0/8=-(y2-y1)y0/2,
直线AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-x0/4y0。
又由(y2-y1)^2+(x2-x1)^2=4得(x0)^2/(4y0)^2+1=4/(x2-x1)^2.
过A、B两点的直线方程为y-y0=k(x-x0)及k=-x0/4y0代入x^2/16+y^2/4=1中,利用韦达定理得x1+x2=2x0,x1*x2=[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2).
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4x0^2-4[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)
=4{x0^2-[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)}.
代入(x0)^2/(4y0)^2+1=4/(x2-x1)^2并化简,得
x0^4-8x0^2+4x0^2y0^2+32y0^2=64.
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请问这是高几的有点难度:
设该弦上两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标(x0,y0)
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(一式)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(二式)
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……(三式)
又弦长为2 可得 (x2-x1)^2+(y2-y1)^2=4 将其和(x0,y0)挂钩 可转换成
(x2-x0)^2+(y2-y0)^2=1……(四式)
由(三式) 和(四式) 代换得到
(16y0^2+xo^2)(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 (16y0^2+xo^2)(y2-yo)^2=x0^2……(六式)
此时只需要将x2,y2消去便可得到中点方程
由 将(五式)+(六式)*4,得到
(16y0^2+xo^2)[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……(七式)
最后 将(二式)和(三式)代入(七式) 便可得到关于中点的方程
(16y0^2+xo^2)(16-x0^2-4y0^2)=16y0^2+4x0^2
设该弦上两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标(x0,y0)
则有 (x1)^2/16+(y1)^2/4=1 ……(一式)
同理 (x2)^2/16+(y2)^2/4=1 ……(二式)
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……(三式)
又弦长为2 可得 (x2-x1)^2+(y2-y1)^2=4 将其和(x0,y0)挂钩 可转换成
(x2-x0)^2+(y2-y0)^2=1……(四式)
由(三式) 和(四式) 代换得到
(16y0^2+xo^2)(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 (16y0^2+xo^2)(y2-yo)^2=x0^2……(六式)
此时只需要将x2,y2消去便可得到中点方程
由 将(五式)+(六式)*4,得到
(16y0^2+xo^2)[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……(七式)
最后 将(二式)和(三式)代入(七式) 便可得到关于中点的方程
(16y0^2+xo^2)(16-x0^2-4y0^2)=16y0^2+4x0^2
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