Question

一些概率论题目

第一题：
在肝癌诊断中，用甲胎蛋白法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10000人中有4人患有肝癌，试求：
1． 某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
2． 已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
第二题：
设连续型随机变量X 的分布函数为

试求：1. A, B的值； 2. P(–1< X <1)； 3. 概率密度函数 f(x).

第三题：
已知总体X服从参数为 的泊松分布，其分布律为

X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本。求：
1． 的矩估计量； 2. 的最大似然估计量。
第四题：
现有一批糖果，从中随机抽取16袋，由测得每袋糖果的重量计算出样本均值、样本方差为 。如果袋装糖果的重量服从正态分布N（μ，σ2），
1． 求总体均值的置信度为0.95的置信区间；
2． 求总体方差的一个无偏估计量和估计值；
3． 是否可以认为μ=500？（α=0.05）

Answer 1

一、解：记事件A：某人患有肝癌，
B：某人被诊断患有肝癌，则依题意有：
P(B|A)=95% ① P(B|A反) + P (B反|A)=10% ② P(A) = 0.0004 ③
因为
P(B|A)+P(B反|A)=P(全|A)=1
所以
P(B反|A)=1-0.95 =0.05
所以
P (B反|A) = P(B|A反) = 0.05
所以
P(B(A反))/P(A反)=0.05
=>P(B)/P(A反) = [P(BA)+ P(B(A反))]/P(A反)
=P(BA)/P(A反) + P(B(A反))/P(A反)
=[P(BA)/P(A)]*[P(A)/P(A反) ] + 0.05
=0.95*0.0004/0.9996 + 0.05
=>第一问所求P(B)= 0.95*0.0004+ 0.05*0.9996=0.05036
第二问所求P(A|B)=P(AB)/P(B)
=0.95*0.0004/0.05036
约=0.75%(对于这个比例我很囧，但好像是没错..)

二、图片看不到，但
1:F(负无穷（有界则为下界）)=0
F(正无穷（有界则为上界）)=1
可解出A，B
2：P(–1< X <1)=F(1)-F(-1)
3：f=F求导

三、解：
矩估计：
依题意有E（X）=λ
所以λ=(∑Xi)/n

极大似然估计：
依题意建立极大似然估计函数
L（λ）=∏[(λ^Xi * e^-λ)/Xi!]
lnL = (lnλ∑Xi -nλ)/∏Xi!
令lnL'λ=0 得
∑Xi/λ -n=0
=>λ=(∑Xi)/n
这题绝对有把握

四:图片又看不到..我就记样本均值为μ0，样本方差为S^2
解：

1.
依题意得
（μ0 -μ)n^(1/2) /σ 服从N(0,1)
(n-1)S^2/σ^2服从Χ^2(n-1)
所以
μ0 -μ （μ0 -μ)n^(1/2) /σ
-------------- = --------------------------服从t(15)
S / 4 {[(n-1)S^2/σ^2]/(n-1)]}^ 1/2

所以
μ0 -μ
-------------- 的置信度为0.95的置信区间为(-t0.025(15),t0.025(15))
S / 4
所以μ的置信度为0.95的置信区间为
( μ0 - t0.025(15)*S / 4 , μ0 + t0.025(15)*S / 4 )

2.
因为

S^2 = 1/(n-1) ∑(Xi - Xi的平均值)^2
= 1/(n-1) ∑(Xi^2 -2 * Xi * Xi的平均值 + Xi的平均值^2)
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 -2 * Xi的平均值 *∑Xi + n*Xi的平均值^2)]
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 -2 * Xi的平均值 * n * Xi的平均值+ n*Xi的平均值^2)] (注：∑Xi= n * Xi的平均值)
= 1/(n-1)[ ∑Xi^2 - n * Xi的平均值^2 ]

所以
E(S^2) = 1/(n-1)[ ∑E(Xi^2) - n ∑E(Xi的平均值^2)]
= 1/(n-1){ ∑[E^2(Xi)+D(Xi)] - n ∑[E^2(Xi的平均值)+D(Xi的平均值)]}
= 1/(n-1)[nμ^2+nσ^2 - n(μ^2 + σ^2 / n)
= 1/(n-1)(nσ^2 - σ^2)
= σ^2
即S^2即为总体方差的一个无偏估计量，估计值自然就为S^2（自己带数据^_^）

3.依题意得
原假设H0为μ=500，被择假设H1为μ！=500
由1知，若H0为真即μ=500则
μ0 -500
-------------- 服从t(15)
S / 4
故当显著性α=0.05时，
若
μ0 -500
-------------- 的值落入（负无穷，-t0.025(15）)∪(t0.025(15)),正无穷)
S / 4
则拒绝H0

（自己带值，我估计会落在接受域，即（-t0.025(15），t0.025(15)）
(-2.131，+2.131),也就是 500-0.53275* S<μ0<500+0.53275* S)

会做这些题的估计都有那个表，那张图片推荐用来写重要参数，100分咧，还是注意一点好

Answer 2

你这不仅是概率论的问题,还有数理统计的
这些都是最简单的题,只给你写提示吧.

1.全概率公式和贝叶斯公式

2.你没有给出分布函数.但第一问肯定用性质
F(-00)=0
F(+00)=1
能求出A,B
第二问更简单了 F(1-0)-F(-1)就好了
第三问那就求导啦,注意间断点.

3.用样本均值估计总体均值
最大似然函数就是联合分布,然后求使其最大的 参数估计
4.均值方差都没有已知用t分布
总体方差无偏估计量,那就是样本方差啦,那个值用计算器按吧
这检验假设的问题,双边备择假设,然后求拒绝域.

Answer 3

你这有几道题没贴上，能发给我吗 ，chengliang1987@gmail.com