Question

在三角形ABC中，AB=10,AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q，则线段PQ的最小值

“要使直径最小，那么C与AB上切点的连线过圆心，即也是直径”这是为什么呢？能更详细说明吗？谢谢！

Answer 1

△PQC是以C为直角顶点的直角△
所以PQ一定是直径
要使直径最小，那么C与AB上切点的连线过圆心，即也是直径
此时，PQ＝6×8÷10＝4.8

Answer 2

解：如图，∵∠ACB=90°，
∴QP是直径，
设QP的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，
∴QP为直径，OC+OD=QP，
∴CO+OD＞CD，
∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，QP=CD有最小值
∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．