Question

初中物理浮力问题

某溶液的密度随深度h（cm）而变化，其变化规律为：ρ=ρ0+kh 式子中ρ0=1g/cm³,为了求出k值，现向溶液中投放两只用一根10厘米的线系在一起的小球A和B，每个球的体积为V=1cm³,其质量分别为mA=1.2g和mB=1.4g。当小球A的球心在液体中所处深度为0.25m时，两个球在溶液中都处于悬浮静止状态时，线是拉紧的。求

1）k的值及其物理意义；2）此时细线对小球A的拉力T。

请给出详细解答过程（我要解说+式子，不要干巴巴的算式）

Answer 1

解：（1）由ρ=m/v, 两物体v相等，mB>mA,所以ρB>ρA，物体B应该在A的下方，

如图1，把A、B、绳看成一个物体，悬浮在液体中，则总浮力=总重力

             即：FA浮+FB浮=mAg+mBg

       (ρ0+K*25cm)gVA+[ρ0+K(10cm+25cm)]gVB=mAg+mBg

消去g:  (ρ0+K*25cm)VA+[ρ0+K(10cm+25cm)]VB=mA+mB

代数：  (1g/cm3+K*25cm)*1cm3+[1g/cm3+K(10cm+25cm)]*1cm3=1.2g+1.4g

             2g+k*60cm4=2.6g

                k=0.01g/cm4=0.01g/cm3/cm

   k表示在此溶液中每下降或上升1cm，液体的密度就增加或减少0.01g/cm3.   （2）由图2，采用隔离法分析：A受浮力、重力和绳的拉力。此时

                FA浮=mAg+T

        (ρ0+K*25cm)gVA= mAg+T 

 代数：（1g/cm3+0.01g/cm4*25cm）10N/kg*1cm3=1.2克*10N/kg+T

          1.25克*10N/kg=1.2克*10N/kg+T

           T=0.05克*10N/kg=0.00005kg*10N/kg=0.0005N

   说明：由于球的体积太小，球的半径也很小，在计算深度的过程中忽略掉了。

Answer 2

首先不清楚B在A的上方还是下方，所以两者都要讨论，然后看各个情况是否实际可以存在。
假设B在A的上方，那么有
两者的重力=两者的浮力
1.2+1.4=（ρ0+kh）V+（ρ0+kh+h0）V
这里h=0.25m，h0是绳子长度，h0=0.1m
得到
k=1（g/cm³/米）
这时候，A在下方，应该A的浮力<A的重力才可以让绳子绷直，
计算发现A的浮力=（ρ0+kh）V=(1+1*0.25)*1=1.25g>1.2g，所以这个情况是不符合实际的。

所以再考虑B在A的下方
有1.2+1.4=（ρ0+kh）V+（ρ0+kh-h0）V
得到k=1.5
然后A的浮力==（ρ0+kh）V=（1+1.5*0.25)*1=1.375g
所以绳子的拉力T=1.375-1.2=0.175g

Answer 3

解：对小球A进行受力分析：
由于A球和B球体积相同，质量B球>A球，所以可以肯定A球在上，B球在下。
A受到浮力，重力，和细线拉力。
即：m1g+T=F1浮
F1浮=(ρ0+0.25k )*V*g
对小球B进行受力分析：
B受到浮力，重力，和细线拉力。
m2g-T=F2浮
F2浮=（ρ0+0.35k ）*V*g （其中0.35=0.25+0.1绳子的长）
F1浮-m1g=m2g-F2浮（T=T）
解得：K=4/3 ；T=0.666