Question

数学小问题，求详细过程。（主要是思路）谢谢。

1、圆O半径为20，弦AB垂直CD于E，求：AE方+BE方+CE方+DE方=？
2、AB切圆O于B，C是OA上一点，CD切圆O于D，且CD=AC，
求证：AB方=2OA*AC
3、矩形OADB在坐标系中，OA为x轴正半轴夹角r=30度，AO=2，OB=1，
对角线AB、CD交于C，求：A、B、C三点坐标？

Answer 1

解答不算详细，主要是给你一些思路

1.
AE²＋BE²＋CE²＋DE²＝(AE+BE)²＋(CE-DE)²
作OP⊥AB于P，OQ⊥CD于Q，则矩形OPEQ
很容易证明CE－DE＝2EQ＝2OP，AE＋BE＝2AP
于是AE²＋BE²＋CE²＋DE²＝(2AP)²＋(2OP)²＝4r²＝1600

2.
设AO交圆于E,F两点AE<AF，使用切割线定理
AC²＝CD²＝CE·CF＝(AE-AC)(AF-AC)＝AE·AF－AC(AE+AF)＋AC²
故AB²＝AE·AF＝AC·(AE＋AF)＝AC·[(OA-r)＋(OA+r)]＝2·OA·AC

3.
这道题应该很简单吧。主要是讨论几种情况
A点有两种情况，B点有四种情况
利用C是AB的中点，可以求得C的坐标
结果是：
A(√3,1)，B(-1/2,√3/2)，C((2√3-1)/4,(2+√3)/4)
A(√3,1)，B(1/2,-√3/2)，C((2√3+1)/4,(2-√3)/4)
A(√3,-1)，B(1/2,√3/2)，C((2√3+1)/4,(-2+√3)/4)
A(√3,-1)，B(-1/2,-√3/2)，C((2√3-1)/4,(-2-√3)/4)