Question

数学题 求面积

p是正方形内一点，pd=1,pa=√ˉ2ˉ,pb=√ˉ3ˉ,求阴影面积
（√ˉ2ˉ 就是 根号2，我找不到根号的符号）

Answer 1

解:将△APD绕点A顺时针旋转90度到△AQB的位置,则

AQ=AP=√2，QB=PD=1，∠PAQ=90度

所以∠APQ=∠AQP=45度，且由勾股定理易得PQ=2

因为BP^2+BQ^2=1方+根号3方=4=PQ^2

所以∠PBQ=90度

又因为BQ=1/2PQ

所以∠QPB=30度，∠PQB=60度

所以∠APD=∠AQB=105度，∠APB=75度

所以∠DPB=105度+75度=180度，即点D、P、B在同一条直线上

S四边形PAQB=S△PAQ+ S△PBQ= S△DAB= S△DCB=1+√3/2

即阴影部分面积为1+√3/2

Answer 2

可以直接列方程解出来的！设xyab……等级太低不能上传图片见谅！
x²+a²=1 ①
y²+a²=2 ②
y²+b²=3 ③
x+y=a+b ④
由①②③可得到：y²-x²=b²-a² ⑤
联立④⑤ 得到y=b
……
x=a=√2／2
y=b=√6/2
面积就很容易求了！
结果好像是1/2ax+1/2(x+x+y)b=√3/2+1

Answer 3

设正方形变长为t，角DAP=a，角BAP=90-a。注：t^2就是t平方
在三角形APD中，余弦定律 DP^2=AP^2+DA^2-2*AP*DA*cos(a)
cos(a)=(2+t^2-1)/(2√ˉ2ˉ*t)
在三角形APB中，余弦定律 BP^2=AP^2+BA^2-2*AP*BA*cos(90-a)
cos(90-a)=sin(a)=(2+t^2-3)/(2√ˉ2ˉ*t)
联立方程组，将两方程左右两侧分别平方后求和：
sin(a)^2+cos(a)^2=1=[(t^2+1)^2+(t^2-1)^2]/(8t^2)
化简得到：t^4-4t^2+1=0
t^2=2+√ˉ5ˉ （此解即为正方形面积）/ 另一组解t^2=2-√ˉ5ˉ（舍弃）
t=√ˉ（2+√ˉ5ˉ ）ˉ ；负解舍弃

根据海伦公式P=(a+b+c)/2（a、b、c）为三角形三边的长度，S△=根号下P(P-a)(P-b)(P-c)
由此公式求得三角形APD和APB。以t^2减去这两个三角形面积即阴影面积。