Question

设z=z(x,y)由方程x/z=ln(y/z)所确定的隐函数 求∂z/∂y，∂z/∂x

Answer 1

x=z(lny-lnz)
对x求导
1=∂z/∂x*(lny-lnz)+z*(0-1/z*∂z/∂x)
1=∂z/∂x(lny-lnz-1/z)
所以∂z/∂x=z/(zlny-zlnz-1)

对y求导
0=∂z/∂y*(lny-lnz)+z*(1/y-1/z*∂z/∂y)
0=∂z/∂y*(lny-lnz-1/z)+z/y
∂z/∂y=-z²/(ylny-ylnz-y)

Answer 2

两边对x求导，把y看做常数，有
(x'z -x∂z/∂x)/z^2 =(z/y)*∂z/∂x
z -x∂z/∂x = (y/z)*∂z/∂x
(x+y/z)∂z/∂x=z
所以∂z/∂x = z/(x+y/z)=z^2/(xz+y)

两边对y求导，把x看做常数，有
-x/(z^2)*(∂z/∂y) = 1/(y/z) *(z-∂z/∂y y)/z^2
-x/(z^2)*(∂z/∂y) = 1/y -(∂z/∂y )/z
[1/z-x/(z^2)](∂z/∂y)=1/y
所以∂z/∂y = z^2/[y(z-x)]