Question

x^2+y^2=3 y>=0 求2x+y最大值、最小值

x^2+y^2=3 y>=0 求2x+y最大值、最小值

Answer 1

图形法解决此问题较为方便。

x^2+y^2=3 y>=0 表示的曲线是R^2=3的上半圆。

令t=2x+y,t就是直线y=-2x+t在y轴上截距。看下图：

Answer 2

因为x^2+y^2=3 y>=0 所以图像为上半圆

令z=2x+y ===>y=-2x+z

当直线y=-2x+z与圆相切时z取到最大值
此时圆心到直线的距离d=|z|/√5=√3 得Zmax=√15

当直线y=-2x+z过圆在x轴上的左交点时z取到最小值看图易得Zmin=-2√3

Answer 3

设z=2x+y 所以y=z-2x
所以当直线y=z-2x与半园x^2+y^2=3相切时取最大值，过（-√3，0）取最小值
所以最大值z=√15，最小值 z=-2√3

Answer 4

先求最小值：
令2x+y=A
则y=A-2x
有已知y≥0
A-2x≥0
A≥2x
x取到最小值时，A最小。
x=-√3
2x+y最小值为-2√3

再求最大值：
y=-2x+A代入x^2+y^2=3

x^2+(2x-A)^2=3
整理，得
5x^2-4Ax+A^2-3=0

判别式≥0

16A^2-20(A^2-3)≥0
整理，得
A^2≤15

A≤√15

2x+y最大值为√15

Answer 5

图上的点在半径为根号3的半圆上，可以设：
X=根号3*sinA
y=根号3*cosA
其中A范围是[－派/2，派/2]
2x+y=2根号3*sinA+根号3*cosA
=根号15*sin(A+B)
其中cosB=2/根号5,sinB=1/根号5
所以最大值是根号15,此时A+B=派/2
最小值是A=-派/2时，为－2根号3