Question

高中数学 抛物线

1.抛物线的顶点在原点，以x为对称抽，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程。

2.已知抛物线y²=2px（p>0)的焦点为F,点A（Xa，Ya),B(Xb,Yb),C(Xc，Yc）在抛物线上 且2Xb=Xa+Xc，求出|FA|,|FB|,|FC|的关系式。

Answer 1

1.解：设抛物线的方程为y²=2px,直线方程为y=-x+b
∵直线过焦点（p/2,0）
∴b=p/2
联立y²=2px和y=-x+b可解出x1+x2=2b+2p,x1*x2=b*b
∴（x1-x2）²=8bp+4p*p
(y1-y2)²=(x2-x1)²
∵所截得弦长为8
∴（x1-x2）²+（y1-y2）²=8²
可得2bp+p*p=8
把b=p/2代入知p²=4
∴该抛物线的方程有两个：y²=4x或y²=-4x

2.伱先画个草图把ABC标上，这样直观点
∵抛物线方程为y²=2px（p>0)
∴它的准线为x=-p/2
利用抛物线的定义e=|FA|/(xA+P/2)
同理可得|FB|=Xb+p/2,|FC|=Xc+p/2
∵2Xb=Xa+Xc
∴2FB=FA+FC

Answer 2

（1）y^2=2px
y=-(x-p/2) x^2-px+p^2/4=2px
y=x^2-3px+p^2/4=0 两解之间的距离=|√△/a|
√9p^2-p^2=8 解得p=±2√2
抛物线的方程y^2=±（4√2）x
(2)|FA|=Xa+p/2
|FB|=Xb+p/2
|FC|=Xc+p/2
|FA|+|FC|=Xa+Xc+p
2|FB|=2Xb+p=Xa+Xc+p ∵(2Xb=Xa+Xc)∴|FA|+|FC|=2|FB|

Answer 3

解：1。由题可知，焦点F（p/2,0）,过焦点的直线为y-0=-1*(x-p/2),
得y=-x+p/2.
代入y^2=2px中，得x^2-3px+p^2/4=0,x1+x2=3p,x1*x2=p^2/4.设交点为
A（x1，y1），B（x2，y2）,AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=
√[(x1-x2)^2+(-x1+p/2+x2-p/2y)^2]=√[(x1-x2)^2+(x2-x1)^2]=
√{2[(x1+x2)^2-4x1x2]}=√[2(9p^2-p^2)]=√(16p^2)=±4p=8,p=±2.
所以y^2=±4x.
2。由已知抛物线y²=2px（p>0)的焦点为F，可知抛物线在第一、四象限，
所以Xa>0,Xb>0,Xc>0.
利用抛物线的定义有|FA|=Xa+p/2，|FB|=Xb+p/2，|FC|=Xc+p/2，
Xa=|FA|-p/2，Xb=|FB|-p/2，Xc=|FC|-p/2，
又2Xb=Xa+Xc，所以2（|FB|-p/2）=|FA|-p/2+|FC|-p/2=|FA|+|FC|-p，
2|FB|-p=|FA|+|FC|-p，即2|FB|=|FA|+|FC|。