Question

初二几何题.急!!!!!

如图,正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD上的点,且满足AF=DE,G,H,P,Q分别是AB,BE,EF,AF的中点,判断四边形GHPQ的形状,并说明理由.

Answer 1

先来讨论用三角形的三边表示角平分线的长度的问题:
在三角形ABC中设AD平分角BAC交BC于D,设AB=c,AC=b,BC=a,BD=p,DC=q,显然p+q=a,AD=m;
因为cos角ADB=(m.^2+p.^2-c.^2)/2*m*p;
cos角ADC=(m.^2+q.^2-b.^2)/2*m*q;
因为cos角ADB=-cos角ADC;
所以有(m.^2+p.^2-c.^2)/p=(b.^2-q.^2-m.^2)/q;
化简得q*m.^2+q*p.^2-q*c.^2=p*b.^2-p*q.^2-p*m.^2;
移项得a*m.^2=p*b.^2+q*c.^2-p*q*a(因为(p+q=a));[1]
又因为p/q=c/b,所以a/q=(c+b)/b;推得q=a*b/(c+b);[2]
同理可得p=a*c/(b+c);[3]
将[2],[3]代入[1]得m.^2=b*c*(b+c+a)(b+c-a)/(b+c).^2;[4]
从而我们得出了用三角形三边长表示角平分线长的式子,下面应用[4]来证明此题,设AB=c,AC=b,BC=a,a+b+c=r,对CD,BE分别用[4]得
CD.^2=a*b(a+b-c)(a+b+c)/(b+a).^2;
BE.^2=a*c(a+c-b)(a+b+c)/(a+c).^2;
因为 CD=BE ,所以
b(a+b-c)/(a+b).^2=c(a+b-c)/(a+c).^2;
近一步用含r的式子表示为:
b(r-2c)/(r-c).^2=c(r-2b)/(r-b).^2;
得(br-2bc)(r.^2-2rb+b.^2)=(cr-2bc)(r.^2-2rc+c.^2);
将上式展开,得:
br^3-2r.^2*b.^2+r*b.^3-2r.^2*bc+4rb.^2*c-2b.^3*c=cr.^3-2r.^2*bc-2r.^2*c.^2+4rbc.^2+c.^3*r-2b*c.^3;
削去两边相同的项2r.^2*bc,移项得;
(b-c)r.^3-2r.^2(b.^2-c.^2)+4rbc(b-c)+r(b.^3-c.^3)-2bc(b.^2-c.^2)=0, 提取公因式,得(b-c)[r.^3-2r.^2(b+c)+4rbc+r(b.^2+bc+c.^2)-2bc(b+c)]=0;
令X等于[r.^3-2r.^2(b+c)+4rbc+r(b.^2+bc+c.^2)-2bc(b+c)];
现在证明X>0;
因为b+c=r-a,代入X的表达式,化简得:
X=rbc+ra.2+2abc>0;
从而b-c=0,推出b=c,所以三角形ABC是等腰三角形.证毕

Answer 2

四边形GHPQ是正方形。
做几何证明题最重要的辅助措施就是做辅助线了，本题也如此。
过程太麻烦，简单的提示如下：
作辅助线BF和AE，通过这两条辅助线形成的三角形ABE、AFE、BEF和ABF，加上已知条件，我们就可以证明：HG和PQ不仅相互平行还相等，HP和GQ也如此。这样就证明四边形是等边平行四边形了。
之后，只要证明四边形的相邻的俩个边相互垂直就能证明是正方形。
具体的要利用三角形ABF和AED，先证明这两个三角形相等，然后通过这两个三角形和大正方形来证明AE和BF相互垂直，之后就可以证明HG和HP相互垂直或QG和QP相互垂直了，这样这道题就可以证明出来了！