Question

已知函数f(x)=(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1,其中a为实数,且a≠0 (详细哦^.^)

已知不等式f′(x)＞x^2-x-a+1对任意a∈(0,+∝)都成立,求实数x的取值范围.

Answer 1

由f(x)解析式可求出f'(x)=ax^2-3x+a+1,将其带入不等式整理可得
（a-1）x^2-2x+2a＞0 , 设函数y=(a-1)x^2-2x+2a,为了求解方便，将函数化为以a为未知量的形式：y=(x^2+2)a-(x^2+2x)，这样问题就变为求x的取值范围使一次函数y=(x^2+2)a-(x^2+2x)在区间(0,+∝)上的函数值恒为正
由于（x^2+2)一定为正，所以直线函数一定为单调升，故只需保证其在(0,+∝)上的极小值（若极小值不存在，则指理论上的极小值）大于0即可，显然，只要满足a取0时的y值大于零即可，令a=0,得出x的范围是（-2，0）而当x=-2时，函数变为y=6a,为过原点的一次函数，显然满足题设，当x=0时，y=2a，也满足，综上，x的取值范围是[-2,0]