Question

已知sinθ-cosθ=-1/5，求sin³θ+cos³θ

sinθ-cosθ= -1/5，sinθcosθ=12/25 .求sin³θ+cos³θ的值

Answer 1

首先是立方和公式(a³+b³)=(a+b)(a^2+b^2-ab)
你会发现在本题只知道sin^2θ+cos^2θ=1
将已知式平方sin^2θ+cos^2θ-2sinθcosθ=1/25
解得sinθcosθ=12/25
这时再利用原式求sinθ+cosθ:
sin^2θ+cos^2θ+2sinθcosθ-4sinθcosθ=1/25
(sinθ+cosθ)^2=49/25
得sinθ+cosθ=7/5或sinθ+cosθ=-7/5
代入(sinθ+cosθ)(sin^2θ+cos^2θ-sinθcosθ)=正负7/5*(1-12/25)=91/125或-91/125

你会发现：问题的补充是可以算出来的

Answer 2

sin³θ+cos³θ=3（sinθ-cosθ）
+4（sinθ-cosθ)((sinθ-cosθ)^2+3sinθcosθ ）=133/25
自己算算吧，我可能 算错了

Answer 3

这个题么，sin3θ+cos3θ=（sinθ+cosθ)(sin^2θ+cos^2θ-sinθcosθ),把所有值带入不就出来了么？sinθ*cosθ是正值，说明二者符号相同，同正或同负，都有可能，譬如-4/5和-3/5或者3/5和4/5。结果有两个。一正一负。等于多少你自己算吧。

Answer 4

毫无疑问我们可以猜到sinθ=3/5 cosθ=4/5从而sin³θ+cos³θ=91/125或者sinθ=-4/5 cosθ=-3/5 从而结果为-91/125.如果是高考题目一般都是猜出的结果。因为，如果你题目多了一些常见的结论都已经记住了，而且是选择或者填空题，就是直接用猜。

另外如果想自己计算可以参考下面算法

(sin³θ+cos³θ)²=（sinθ+cosθ）²（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)²
=（sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ)（sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)
²=(1+24/25)(1-12/25)²=49*13*13/25*25*25
（不用将那些分子分母加起来）
直接开方
sin³θ+cos³θ=±7*13/5*5*5=±91/125.解毕。