Question

求助几道奥数题

1. 求满足x^2+y^2=2(x+y)+xy的所有正整数解
2.若正数x,y,z同时满足xyz=1,x+1/z=5,y+1/x=5,则z+1/y=？
3.99个自然数之和等于a*b*c*d,若a,b,c,d为质数，则a+b+c+d最小值为？
4.多项式2x^4-3x^3+ax^2+7x+b能被(x^2+x-2)整除，求a/b
5.多项式4x^3-5x^2+4x-7除以（x-2）所得余数是？
6.若a是x^2-3x+1的根，求（2a^5-5a^4+2a^3-8a^2）/(a^2+1)
7.已知p,q,r都是实数，而且r+q=6-4p+3q^2,r-q=5-4p+p^2,则r,q,p的大小关系
8.已知x^n+1/(x^2n)=1,求x^5n+x^n+2=?
9.多项式4x-5x^2+4x-7除以（x-2）所得余数是？
我要过程

Answer 1

1.
x²＋y²－xy＝2(x+y)为偶数，所以x,y都为偶数
设x＝2m,y＝2n，显然m,n均为正整数
代入原式得(2m)²＋(2n)²＝2(2m+2n)＋(2m)(2n)
化简得：m²＋n²＝(m＋n)＋mn
有(m-n)²＝m²＋n²－2mn＝(m+n)－mn＝1－(m-1)(n-1)
而(m-n)²≥0，故(m-1)(n-1)≤1
显然(m-1)(n-1)应为非负整数，讨论一下：
(1) 若(m-1)(n-1)＝1，则m-1＝n-1＝1，则m＝n＝2
代入验证，不合条件
(2) 若(m-1)(n-1)＝0，则m-1,n-1其中一个为0
不妨设m-1＝0，m＝1
那么x＝2，代入得4＋y²＝2(2+y)＋2y，解得y＝4
同理，n-1＝0时得到x＝4，y＝2
综上：(x,y)＝(2,4)或(4,2)

2.
由x＋1/z＝5得z＝1/(5-x)，由y＋1/x＝5得y＝5－1/x
于是1＝xyz＝x(5-1/x)/(5-x)＝(5x-1)/(5-x)，解得x＝1
于是y＝4，z＝1/4
z＋1/y＝1/2

3.
99个自然数之和≥99
由平均值不等式a＋b＋c＋d≥4×4次根号(99)>4×3＝12
然后尝试一下：
13可分解成13＝2＋3＋3＋5，或13＝2＋2＋2＋7，
而2×3×3×5＝90，2×2×2×7＝56，均小于99，不行
14＝2＋2＋5＋5，且2×2×5×5＝100满足要求
所以当这99个自然数是98个1和1个2时，a＋b＋c＋d取得最小值14

4.
多项式除法应该会吧？这里详细描述一下，后面就不重复做了
2x^4－3x³＋ax²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－2x²(x-2)－3x³＋ax²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x³＋(a+4)x²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋5x(x-2)＋(a+4)x²＋7x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)x²－3x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)(x²+x-2)－(a+9)(x-2)－3x＋b
＝2x²(x²+x-2)－5x(x²+x-2)＋(a+9)(x²+x-2)－(a+12)x＋(2a+18+b)
＝(2x²-5x+a+9)(x²+x-2)－(a+12)x＋(2a+18+b)
所以2x^4－3x³＋ax²＋7x＋b除以x²+x-2商2x²-5x+a+9余-(a+12)x+(2a+18+b)
由题意，-(a+12)x+(2a+18+b)恒等于0，有-(a+12)＝0，2a+18+b＝0
解得a＝-12，b＝6，a/b＝-2

5.
类似第4题的多项式除法
4x³－5x²＋4x－7＝(4x²+3x+10)(x-2)＋13，余数为13

6.
因a是x²－3x＋1的根，满足a²－3a＋1＝0，a²＋1＝3a，所以
(2a^5-5a^4+2a³-8a²)/(a²+1)
＝(2a^5-5a^4+2a³-8a²)/(3a)
＝(2/3)a^4－(5/3)a³＋(2/3)a²－(8/3)a
＝[(2/3)a²+(1/3)a+1](a²-3a+1)－1（注：多项式除法，除以a²－3a＋1）
＝-1

7.
由r＋q＝6－4p＋3q²，得3q²－q＋(6-4p-r)＝0
方程有实根，Δ＝1－12(6-4p-r)≥0，有4p＋r≥71/12……(1)
由r－q＝5－4p＋p²，得p²－4p＋(5+q-r)＝0
方程有实根，Δ＝16－4(5+q-r)≥0，r－q≥1……(2)
由r－q＝5－4p＋p²，得到r＝q＋5－4p＋p²，代入r＋q＝6－4p＋3q²，得
3q²－2q＋(1-p²)＝0，Δ＝4－12(1-p²)≥0，得p²≥2/3……(3)
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题目中能够获得的信息只有这么多，只能判断r>q，而p的大小无法判断
比如：p＝2，q＝(1+√10)/3，r＝(4+√10)/3满足条件，有q<p<r
而p＝2，q＝(1-√10)/3，r＝(4-√10)/3也满足条件，有q<r<p
又p＝-1，q＝0，r＝10也满足条件，有p<q<r

8.
令y＝x^n，则y＋1/y²＝1，得y³－y²＋1＝0
x^(5n)＋x^n＋2
＝y^5＋y＋2
＝(y²+y+1)(y³-y²+1)+1（注：多项式除法）
＝1

9.
类似第4题的多项式除法
4x³－5x²＋4x－7
＝(4x²+3x+10)(x-2)＋13
所以余数是13