Question

如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连接OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）由于OB是由OA顺时针旋转120度而成，所以OB=OA=2，∠BOy=120-90=30度，∠BOx=60度，则根据横纵坐标的定义，可求得Xb=2*cos60 =1，Yb=2*sin60 =√3
故B坐标为（1，√3）
（2）因为抛物线过原点，所以可设抛物线解析式为y=ax^2+bx，把抛物线过A（-2，0），B（2，√3）的条件代入解析式，可解得a=√3/3,b=2√3/3，所以抛物线解析式为y=√3x^2/3 + 2√3x/3
（3）若使△BOC的周长最小，由于BO长度已定，故只需使BC+CO的长度最短就行，由抛物线解析式可得对称轴为x=-1,又因为A（-2，0），O（0，0）点均在抛物线上，且它们关于直线x=-1对称，所以AC=OC，于是问题转化为使BC+AC的长度最短，C点在直线x=-1上移动，通过图像可以观察到，当C点切好处在AB上的时候，根据三角形任意两边之和大于第三边的原理，可判断出此时的AC+CB=AB长度最短，此时C点的坐标可通过求出直线AB的方程后与直线x=-1相交求得，AB的直线方程可根据两点式求得为y=√3x/3 +2√3/3，令x=-1，得出Yc=√3/3，故满足三角形BOC周长最小的C点坐标为（-1，√3/3）
(4)△PAB的面积可表示为1/2 *AB *PE(E为过P向AB引的垂线的垂足)，由于AB长度固定，可求出是2√3，所以只需求出PE的最大值即可获得△PAB的最大面积
通过观察图像可得出以下结论，当过P点且相切于抛物线的直线斜率与直线AB的斜率相等时，此时的PE最大，设P的横坐标为Xp,则抛物线的切线的斜率可通过对抛物线方程求导取得（如果楼主没学过导数，请看最后一段的补充说明！），为y=2√3x/3 +2√3，所以过P点的切线斜率为2√3Xp/3 +2√3，令其等于AB的斜率√3/3，可解得Xp=-1/2, 代入到抛物线解析式可求得P点坐标为（-1/2,-√3/4）,直线PE的斜率是AB斜率的负的倒数分之一，可求得为-√3，再将P点坐标代入可得PE的方程为y=-√3x-3√3/4，它与AB的交点E可通过联立AB的解析式得出是（-17/16,5√3/16），所以PE通过联立P、E两点的坐标求得为9/8,所以△PAB最大面积为1/2 * 9/8 * 2√3=9√3/8

第4问我取了点巧，用导数求更加一目了然，避免了一些繁琐的计算，但是如果楼主还没有学过导数的话，那么我大概说一下别的做法
要使PE达到最大，可设直线束的斜率为AB的斜率即为固定，当此直线束中的一条切好与抛物线相切时，从图像上能得出此时的PE也就是AB与切线这两条平行线的距离最大的结论，那么可将此切线的方程与抛物线方程联立起来，令其有且只有一个解，由于切线方程斜率已知，此时切线方程只有一个未知数纵截距，通过二次方程满足有且只有一个解这个条件可得出唯一的纵截距值，且同时求出切点即P的坐标，之后的求解过程同上所述

Answer 2

解:(1)作BH垂直Y轴于H,则:∠BOH=∠AOB-90°=30°.
∴BH=OB/2=2,OH=√(OB²-BH²)=2√3.故点B为(2,2√3)
(2)抛物线过点O,则c=0,设过A(-4,0)和B(2,2√3)的抛物线为y=ax²+bx.
则:0=a(-4)²+b(-4);
2√3=a*2²+b*2.
解得:a=√3/6,b=2√3/3.
故过点A，O，B的抛物线为：y=(√3/6)x²+(2√3/3)x.
(3)抛物线y=(√3/6)x²+(2√3/3)x的对称轴为直线x=-2.
连接AB，交直线x=-2于点C,则此时△BOC周长最小.
由A(-4,0),B(2,2√3)可求得直线AB为:y=(√3/3)x+4√3/3.
x=-2时,y=(√3/3)*(-2)+4√3/3=2√3/3.即点C的坐标为（-2, 2√3/3);
(4)设点P为(-m,-n),作PD垂直Y轴于D,AE垂直DP的延长线于E,BF垂直PD的延长线于F.
则:AE=n,PE=-m-(-4)=4-m;PF=2-(-m)=2+m;EF=2-(-4)=6.
S△PAB=S梯形AEFB-S△AEP-S△PFB=(AE+BF)*EF/2-AE*PE/2-BF*PF/2
=(2n+2√3)*6/2-n*(4-m)/2-(2√3+n)*(m+2)/2=3n-√3m+4√3.
点P(-m,-n)在抛物线上，则-n=(√3/6)m²-(2√3/3)m,n=(-√3/6)m²+(2√3/3)m.
∴S⊿PAB=3[(-√3/6)m²+(2√3/3)m]-√3m+4√3=(-√3/2)(m-1)²+9√3/2.
故当m=1时,S⊿PAB有最大值,且最大值为9√3/2.
m=1时,-n=(√3/6)*1²-(2√3/3)*1=-√3/2,即此时点P为(-1,-√3/2).