Question

高数：等价无穷小的简单问题！

书上有定义limf(x)/g(x)=1，则f(x)与g(x)是等价无穷小。

还有重要极限limsinx/x=1

以上两条，是不是无论当x趋于多少，f(x)与g(x)都是等价无穷小？但是我做题还有上课，一般都是当x趋于0时sinx～x，可是书上定义却并没有说一定要x趋于0啊，到底是怎么回事？
如果不规定x，则如果x趋于8，则limf(x)/g(x)=1 => f(x)～g(x)不是可以替代了吗？

还有，有一题：当x——>3,求limsinx/5x，则是否可以这样：原式=limx/5x=1/5？当x不趋于0时，可以用x代替sinx吗？

http://zhidao.baidu.com/question/130200508.html
还有这一题，望大家过去看看，THANKS!

Answer 1

解答：
对于lim sinx/x = 1, 这是绝对的，一定要趋向于0。
x→0

对于lim f(x)/g(x) = 1, 不是绝对的，不一定要趋向于0，只是趋向于一个定值x。
x→x。

例如：lim sin(x-1)/(x-1) = 1, 要求的是x→1，而不是x→0
x→1

在当x→x。，若 lim f(x)/g(x) = 1，f(x)与g(x)当然就是等价无穷小, 不过要记住成立的条件：x→x。

楼主的质疑是对的，学微积分不可以想当然，就是得一个一个概念认真推敲，才能掌握微积分的实质。加油！

补充回答：
还有，有一题：当x→3,求limsinx/5x，则是否可以这样：原式=limx/5x=1/5？当x不趋于0时，可以用x代替sinx吗？

答：当x→0时，
原式 = limsinx/5x
= lim[(x/5x)(sinx/x)]
= 1/5 = 0.2
当x→3时，
原式 = limsinx/5x
= (sin3)/15
≈ 0.0288224

【结论】：
当x不趋于0时，绝对不可以用x代替sinx。

Answer 2

不是,当x趋于0才能成立，sinx～x指的两个都是无穷小，f(x)与g(x)也都是无穷小

Answer 3

等价无穷小是当分子分母都趋于0时，limf(x)/g(x)=1.而不一定一定要x->0
只有当x->0时 才能用无穷小替换limsinx/x=1 趋于常数或无穷大时都不能这样替换
如x->3时，limsinx/5x=sin3/15