Question

高一的数学啊··急急急急急急急啊··

已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0 1.求证f(x)是偶函数 2.求证f(2x)=2f^2(x)-1 （3）.若存在正数a，使f(a)=0，求证：1.对于任意实数x，恒有f(x)+f(x+2a)=0, 2.f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期。

Answer 1

你明白，我不明白！说就要说明白！
1。已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
则令y=0,有f(x+0)+f(x-0)=2f(x)f(0)=2f(x)
∵ f(0)≠0，应该是f(0)=1（漏写了吧）
∴ 令x=0,y=x有：
f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)是偶函数
2. 令 y=x,则
f(x+x)+f(x-x)=f(2x)+f(0)=f(2x)+1
2f(x)f(y)=2f(x)f(x)=2f^2(x)
∴ f(2x)=2f^2(x)-1
3. 若存在正数a，使f(a)=0
3.1 对于任意实数x
f(x)+f(x+2a)=f(x+a-a)+f(x+a+a)=2f(x+a)f(a) = 0
3.2 f(x+3a+a)+f(x+3a-a)=f(x+4a)+f(x+2a)=2f(x+3a)f(a)=0
f(x+2a)+f(x)=0
∴ f(x+4a)+f(x+2a)=f(x+2a)+f(x)=0
即，f(x+4a)=f(x)
所以，f(x)是以4a为周期的周期函数

f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期

Answer 2

f(x+0) + f(x-0) = 2f(x) f(0)
f(0) 不等于 0， f(0) = 1
f(x)+f(-x) = 2f(x)f(0) = 2f(x)
f(x) = f(-x)
是偶函数

f(x+x) + f(x-x) = 2f(x)f(x)
f(2x) + f(0) = 2f^2(x)
f(2x)=2f^2(x)-1

若存在正数a，使f(a)=0
对于任意实数t
f(t+a)+ f(t-a) = 2f(x)f(a) = 0
令x =t-a
f(x)+ f(x+2a) = 0

f(x+4a) + f(x+2a) = 0
f(x+2a) + f(x) = 0
f(x+4a) + f(x+2a) = f(x+2a) + f(x) = 0
f(x+4a) = f(x)

f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期

Answer 3

怎么看都我方法最简单···
1.定义域R
f(x+0) + f(x-0) = 2f(x) f(0)
f(0) 不等于 0， f(0) = 1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(y) f(-y)=f(y)所以偶

2.令y=x f（2x）+1=2f(y)^2 所以 f（x）=2f（x）^2-1

3.f(x+a)+f(x-a)=2f(x)*f(a)=0 令x-a=t
f(t+2a)+f(t)=0
f(t+2a)=-f(t)
f（t+2a+2a）=-f（t+2a）=f（t）
f（t+4a）=f（t）
周期为4a的周期函数