Question

一道数学题，数学高手进

已知二次函数Y=AX^2 BX C的图像过点A（3，0）、B（2，-3）、C（0，-3）。1、求函数的解析式和对称轴
2、在对称轴上是否存在一点P，使得三角形PAB中PA=PB，若存在求出点P坐标，若不存在说明理由
变式3、抛物线与X轴的另一个交点坐标D，抛物线上是否存在点M使三角形DOM的面积=三角形AOC面积的三分之一

Answer 1

解：
1、带入三个点
9a+3b+c=0,4a+2b+c=-3,c=-3
解知：a=1，b=-2，c=-3
y=x²-2x-3，y=（x-1）²-4，对称轴x=1

2、因为在对称轴，设P（1，p）
（3-1）²+（0-p）²=（2-1）²+（-3-p）²
解得：p=-1，P存在（1，-1）

3、令y=0，x=3，或x=-1，所以另一交点D（-1，0）
A（3，0）、C（0，-3），所以三角形AOC面积为4.5，三分之一为1.5
设M坐标（x，x²-2x-3）
DOM的高即为其纵坐标
底OD=1
1/2*1*（x²-2x-3）=1.5
解得x=1加减根号7
M坐标（1加减根号7，3）

Answer 2

1.
代入 得
A = 1,B = -2,C = -3
x对称轴 = -B/2A = 1
2.
设存在 P (1,n) 使PA=PB
n^2+(1-3)^2 = (n+3)^2+(1-2)^2
得 n = -1
故存在 P （1，-1） 使 PA=PB
3.
设 D (x2,0)
(x1+x2)/2=x对称轴=1
x1=3 , 所以 x2=-1
D (-1,0)
三角形DOM的面积=三角形AOC面积的三分之一
即 DO*h1=1/3*AO*h2
h1=h2=3
则可设
M (a,3)或(a,-3) 代入
得 a= 0,2,√7/2+1,-√7/2+1