如图P为正方形ABCD的边AD上的 一个动点，AE垂直BP，CF垂直BP,垂足分别为点E、F，已知
如图P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE垂直BP，CF垂直BP,垂足分别为点E、F，已知AD=4.(1)试说明AE²＋CF²的值是一个常数；(...
如图P为正方形ABCD的边AD上的 一个动点，AE垂直BP，CF垂直BP,垂足分别为点E、F，已知AD=4.(1)试说明AE²＋CF²的值是一个常数；(2)过点P作PM平行FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，求DM的值。
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解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
AB=BC
∠ABE=∠BCF
∠AEB=∠BFC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ DM/PD =AP/AB ，
即 DM/4−x =x/4 ，
∴DM= x（4−x）/4 =x﹣ 1/4 x²，
当x=2时，DM有最大值为1．
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
AB=BC
∠ABE=∠BCF
∠AEB=∠BFC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ DM/PD =AP/AB ，
即 DM/4−x =x/4 ，
∴DM= x（4−x）/4 =x﹣ 1/4 x²，
当x=2时，DM有最大值为1．
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