某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形
某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一...
某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q． （1）求证：DP=DQ； （2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．
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（1）证明：∵∠ADC=∠PDQ=90°，
∴∠ADP=∠CDQ．（1分）
在△ADP与△CDQ中，
∠DAP＝∠DCQ＝90° AD＝CD ∠ADP＝∠CDQ
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．（2分）
（2）猜测：PE=QE．（3分）
证明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中，
DP＝DQ ∠PDE＝∠QDE＝45° DE＝DE
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．（6分）
（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：
即：（8分）
解得：x=50/ 7 ，即QE=50 /7 ．
∴S△DEQ=1 /2 QE•CD=1 /2 ×50 /7 ×6=150 /7 ．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP=S△DEQ=150/ 7 （10分）．
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∴∠ADP=∠CDQ．（1分）
在△ADP与△CDQ中，
∠DAP＝∠DCQ＝90° AD＝CD ∠ADP＝∠CDQ
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ．（2分）
（2）猜测：PE=QE．（3分）
证明：由（1）可知，DP=DQ．
在△DEP与△DEQ中，
DP＝DQ ∠PDE＝∠QDE＝45° DE＝DE
∴△DEP≌△DEQ（SAS），
∴PE=QE．（6分）
（3）解：∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，BP=2．
与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8．
与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，
∴PE=QE．
设QE=PE=x，则BE=BC+CQ-QE=14-x．
在Rt△BPE中，由勾股定理得：
即：（8分）
解得：x=50/ 7 ，即QE=50 /7 ．
∴S△DEQ=1 /2 QE•CD=1 /2 ×50 /7 ×6=150 /7 ．
∵△DEP≌△DEQ，
∴S△DEP=S△DEQ=150/ 7 （10分）．
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