Question

如图 直四棱柱ABCDA1B1C1D1,平面A1BC垂直平面A1ABB1,AB=BC=2，AA1=

2根号2
求证BC垂直平面A1ABB1
求A1B与平面A1AC成角的正弦值
侧棱垂直于底面

Answer 1

追问

首先你做对了，但是第一问还是有点疑问哈
题中给的两平面垂直，但是BC垂直于AB能直接推出来吗？
不是说两平面垂直，只有一平面中直线垂直于两平面的交线才能说明直线垂直于另一平面吗？
也就是说，我认为，只有先证明CB垂直于A1B,才可以说明BC垂直于AB
还有就是我刚刚学习立体几何，空间向量还没有学，希望第二问可以用几何做
望解答，谢谢

追答

不能由两平面垂直直接推出BC垂直于AB，要按定义只有垂直于该平面两条不平行的直线，即相交直线才能证明垂直该平面。所以这里要说明BC⊥AB，BC⊥BB1，才能够证明BC⊥平面A1ABB1

第二问可以用几何方法做，我把思路告诉你

追问

。。。拜托，我说的是BC垂直于AB能直接推出来吗？
我认为，只有先证明CB垂直于A1B,才可以说明BC垂直于AB
你回答得明显前言不搭后语，什么叫“不能由两平面垂直直接推出BC垂直于AB，说明BC⊥AB，BC⊥BB1，才能够证明BC⊥平面A1ABB1”
我有疑问的地方在于BC垂直于AB能直接推出来吗，而不是BC⊥平面A1ABB1能否直接证明
望解答，谢谢

追答

连接BD，因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，且AA1垂直BD，所以BD垂直平面AA1C，设BD和AC交点为O，连接A1O，则sin∠BA1O就是所求，这个应该很好求出来，各个边都知道了

追问

再换句话，我有疑问在于底面ABCD是否为正方形，
还是说直四棱锥就是底面为矩形？
望解答

追答

。。。由平面A1BC垂直平面A1ABB1可以直接推出来BC⊥AB

第一问证明了它是矩形，然后边长相等就是正方形

追问

麻烦再看看我第一条追问
不是说两平面垂直，只有一平面中直线垂直于两平面的交线才能说明直线垂直于另一平面吗？
也就是说，我认为，只有先证明CB垂直于A1B,才可以说明BC垂直于AB
望解答，谢谢

追答

CB垂直A1B不能先直接得出来吧

追问

对呀，所以CB垂直于A1B你是咋整的？

追答

我写的是BC垂直AB，不是A1B

追问

错了，就是BC垂直AB证不出来
因为一开始两平面垂直证不出来它的

追答

因为是直棱柱，且只有满足BC垂直AB才会有A1BC垂直侧面，所以BC⊥AB

追问

哦，也就是说这个可以理解为直棱柱的性质定理？

追答

。。。这个问题应该没那么纠结吧