Question

求高手解答高中数学，平面解析几何第21题。求详解，谢谢。

Answer 1

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2，焦距=2，过F1作直线交椭圆于B,D，且⊿F2BD的周长=4√3
（1）求椭圆方程；（2）判断1/|F1B|+1/|F1D|是否为定值，若是求此定值；
(3)过F2作直线⊥BD交椭圆于A,C，设逆时针连接四个交点所得四边形面积为S，求S的取值范围。

仅供参考，请看1，3问，思路保证正确，由于怱忙推导过程难免有故障
（1）解析：由椭圆定义可知，4a＝4√3，c=1
∴a＝√3，b＝√(3-1)= √2
∴椭圆方程为: x^2/3+y^2/2=1
(2)解析：设B(x1,y1)，D(x2,y2)
当直线BD斜率不存在时
X1=x2=-1；y1=-2√3/3；y2=2√3/3
1/|F1B|+1/|F1D|=2/(2√3/3)=√3
当直线BD斜率存在时
设BD方程为y=k(x+1)
代入椭圆并整理得(2+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-6=0
由韦达定理：x1+x2=-6k^2/(2+3k^2)，x1x2=(3k^2-6)/(2+3k^2)
1/|F1B|+1/|F1D|=1/√[(x1+1)^2+y1^2]+1/√[(x2+1)^2+y2^2]
=1/√(1+k^2)(1/|x1+1|+1/|x2+1|)
=1/√(1+k^2)(|x1-x2|/|x1x2+x1+x2+1|
=1/√(1+k^2)*4√(3k^2+3)/4=√3
∴1/|F1B|+1/|F1D|=√3
(3)解析：∵AC⊥BD
|BD|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
当直线BD斜率不存在时
X1=x2=-1；y1=-2√3/3；y2=2√3/3
|BD|=y2-y1=4√3/3
此时|AC|为长轴2√3
S=1/2|BD|*|AC|=1/2*4√3/3*2√3=4
当直线BD斜率存在时
设BD方程为y=k(x+1)
代入椭圆并整理得(2+3k^2)x^2+6k^2x+3k^2-6=0
由韦达定理：x1+x2=-6k^2/(2+3k^2)，x1x2=(3k^2-6)/(2+3k^2)
(x1-x2)^2=( x1+x2)^2-4x1x2=48(k^2+1)/(2+3k^2)^2
(y1-y2)^2=k^2(x1-x2)^2
|BD|^2=(1+k^2)(x1-x2)^2
==>|BD|=√(1+k^2)* 4√[3(k^2+1)]/(2+3k^2) =4√3(k^2+1)/(2+3k^2)
此时AC方程为y=-1/k(x-1)
代入椭圆并整理得(2+3/k^2)x^2-6/k^2x+3/k^2-6=0
==>(2k^2+3)x^2-6x+3-6k^2=0
由韦达定理：x3+x4=6/(2k^2+3)，x3x4=(3-6k^2)/(2k^2+3)
(x3-x4)^2=( x3+x4)^2-4x3x4=48k^2(k^2+1)/(2k^2+3)^2
(y3-y4)^2=(x3-x4)^2/k^2
|AC|^2=(1+1/k^2)(x3-x4)^2
==>|AC|=√(1+1/k^2)* 4k√[3(k^2+1)]/(2k^2+3) =4√3(k^2+1)/(2k^2+3)
S=1/2|BD|*|AC|=1/2*4√3(k^2+1)/(2+3k^2)* 4√3(k^2+1)/(2k^2+3)
=24(k^2+1)^2/(6k^4+13k^2+6)
=24/(6+k^2/(1+k^2)^2)
∴当k=±1时，S取最小值96/25
当k=0或不存在时，S取最大值4

追问

已知a=1，b=2，a•b=1，若a－c与b－c的夹角为60°，则c的最大值为

追答

你这是什么题？a=1，b=2，a•b=1矛盾

追问

向量的。

追答

向量也不对，平面向量有二个坐标分量，空间向量有三个坐标分量，你这才一个

追问

前面的是摸，那个点是数量积，最后求的是c的摸的最值。

追答

已知|向量a|=1，|向量b|=2，向量a•b=1，若向量a-c与向量b-c的夹角为60°，则|c|的最大值为

解析：设向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，
∵|a|=1，|b|=2，a•b=1
∴a•b=1*2*cos=1==>=π/3，即∠AOB=π/3
∵向量a-c与向量b-c的夹角为60°
向量a-c=OA-OC=向量CA，向量b-c=OB-OC=向量CB
∴向量CA与向量CB夹角为60°，即∠ACB=π/3
∴OACB为平行四边形，|c|的最大值为对角线OC的长
|OC|=√[|OA|^2+|AC|^2-2|OA|*|AC|*cos120°]=√[4+1+2*1]=√7
∴|c|的最大值为√7

追问

没有这个答案，根号7我也算出来了。有根号7加1。

追答

你将原题（不要加任何修改）拿来

追问

已知|a|=1,|b|=2,a.b=1若a-c与b-c的夹角为60，则|c|的最大值是多少？
A.√7/2+1 B.√3 C.√7+1 D.√3+1

追答

解析：设向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，

∵|a|=1，|b|=2，a•b=1

∴a•b=1*2*cos<a,b>=1==><a,b>=π/3，即∠AOB=π/3

∵向量a-c与向量b-c的夹角为60°

向量a-c=OA-OC=向量CA，向量b-c=OB-OC=向量CB

建立以O为原点，以∠AOB平分线为X轴的平面直角坐标系O-xy

则点坐标：O(0,0)，A(√3/2,1/2)，B(√3,-1)，

连接AB，以AB为边作等边⊿ABC

则C点轨迹为⊿ABC外接圆优弧ACB

AB方程：y+1=-√3(x-√3)==>y=-√3x+2

|AB|=√[(√3/2)^2+(3/2)^2=√3，AB边上高=3/2

∴圆心到AB距离d=1/2

AB中点（3√3/4,-1/4）

设圆心（x,y）

(x-3√3/4)^2+(y+1/4)^2=1/4

AB中垂线方程：y+1/4=√3/3(x-3√3/4)==>y=√3/3x-1

二式联立解得x=√3，y=0

∴C点的轨迹为圆(x-√3)^2+y^2=1，圆心（√3,0）

∴|c|=√(x^2+y^2)的最大值为1+√3

选择D

追问

老师，还有一题。在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=a/2×sin C。求tan B的最大值。

追答

你重新提问，给我发求助

追问

嗯嗯。

马上。

我发了提问，可是我用手机不能求助。你帮我看看吧，刚发的，平面解析几何。谢谢。

追答

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b=1/2asinC。求tan B的最大值。

解析：由正弦定理，2sinB=sinAsinC=sinAsin(A+B)=sin^2AcosB+sinA•cosA•sinB
==>(2-sinAcosA)sinB=sin^2AcosB
==>tanB=sin^2A/(2-sinAcosA)=1/[2+2cot^2A-cotA]=1/[2(cotA-1/4)^2+15/8]
∵角A，B，C均为锐角
∴当cotA=1/4时，tanB取最大值8/15

追问

老师，求解第22题。

在不

Answer 2

给采纳，我帮你做

追答

诚信第一

包你满意

追问

先给过程。

追答

那不行，你这题目计算量很大的，做出来，你再采纳别人了，我何必呢

那我宁愿不冒这险

追问

又不是做买卖。你做出来了我还能不给你？我是个学生，别搞得跟做买卖似的。

追答

你给我，我肯定帮你做出来

追问

你把两题详解发来，我看了，好评就给你了呗。

追答

那你还是请别人吧

追问

有QQ不？以后可能还会遇到问题。

追答

只在这上面解答问题