Question

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2）=-f（x).1.求证

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2）=-f（x).1.求证：f（x）是周期函数.2.若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=1/2x,求使f(x)=-1/2在[0,2012]上的所有x的个数

Answer 1

解：log(1/2)24=-log(2)24因为:2^4=16,2^5=32则：2^4<24<2^5 所以-log2(2^5)<-log2(24)<-log2(2^4) 所以-5<-log(2)24<-4因为f(x)为奇函数 则有f(-x)=-f(x)所以f(-log(2)24)=-f(log(2)24)因为f(X)周期为2所以f(log(2)24)=f(log(2)24-2*2)因为0<log(2)24-4<1所以f(log(2)24-4) =2^(log(2)24-4)-1=2^log2(24)/2^4-1 =24/2^4-1 =24/16-1=1/2所以f(log(1/2)24)=f(-log(2)24)=-f(log(2)24)=-1/2 由于：f(x 2)=-f(x) 则令x=X 2 则有：f(X 2 2)=-f(x 2) 即：f(x 4)=-f(x 2)=-[-f(x)]=f(x) 即：f(x)=f(x 4) 故：f(x)周期为4 则：f(log(2)24)=f(log(2)24-4)然后过程结果都一样 推周期一般是这样写 我的补充内容是本题中周期的推导过程 接“所以f(-log(2)24)=-f(log(2)24)”这一步 全部过程： 解：log(1/2)24=-log(2)24因为:2^4=16,2^5=32则：2^4<24<2^5 所以-log2(2^5)<-log2(24)<-log2(2^4) 所以-5<-log(2)24<-4因为f(x)为奇函数 则有f(-x)=-f(x)所以f(-log(2)24)=-f(log(2)24) 由于：f(x 2)=-f(x) 则令x=X 2 则有：f(X 2 2)=-f(x 2) 即：f(x 4)=-f(x 2)=-[-f(x)]=f(x) 即：f(x)=f(x 4) 故：f(x)周期为4 则：f(log(2)24)=f(log(2)24-4)因为0<log(2)24-4<1所以f(log(2)24-4) =2^(log(2)24-4)-1=2^log2(24)/2^4-1 =24/2^4-1 =24/16-1=1/2所以f(log(1/2)24)=f(-log(2)24)=-f(log(2)24)=-1/2

Answer 2

解：（1）证明：∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）当0≤x≤1时，f（x）= 12x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）=-x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=- 12x，即f（x）= 12x．故f（x）= 12x（-1≤x≤1）
又设1＜x＜3，则-1＜x-2＜1，∴f（x-2）=- 12（x-2），
又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f[（-x）+2]=-[-f（-x）]=-f（x），
∴-f（x）= 12（x-2），∴f（x）=- 12（x-2）（1＜x＜3）．
∴f（x）= {12x，-1≤x≤1-12(x-2)，1＜x＜3
由f（x）=- 12，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．故f（x）=- 12的所有x=4n-1（n∈Z）．令0≤4n-1≤2010，则 14≤n≤502，
又∵n∈Z，∴1≤n≤502（n∈Z），
∴在[0，2010]上共有502个x使f（x）=- 12．

Answer 3

这个计算是很简单的，做好了发你啊