Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=

x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．（
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．（
∴△PFA∽△ABE．（2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB（
∴四边形ABEP为矩形．（
∴PA=EB=2，即x=2．（
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．（
∵AE=根号（AB^2+BE^2)=根号（4^2+2^2）=2倍根号5
，∴EF=1/2AE=根号5
∵PE/ AE=EF/EB
，即
PE/2倍根号5=根号5/2，
∴PE=5，即x=5．