Question

如图，在四边形ABCD中，CD平行于AB，AD=BC，对角线AC，BD交于点O，角ACD=60度，

如图，在四边形ABCD中，CD平行于AB，AD=BC，对角线AC，BD交于点O，角ACD=60度，点P，Q，S分别为OA，BC，OD的中点，求证：三角形SPQ是等边三角形

Answer 1

由题意知：OA=OB=AB，OC=OD=CD，
设AB=a，CD=b，则：
∠BOC=120°，
由余弦定理：cos∠BOC=(OB^2+OC^2-BC^2)/(2*OB*OC)，
——》AD=BC=√(a^2+b^2+ab)，
AC=BD=a+b，CP=a/2+b，BS=a+b/2，CQ=BQ=√(a^2+b^2+ab)/2，
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2*AC*BC)=(PC^2+CQ^2-PQ^2)/(2*PC*CQ)，
——》PQ^2=(a^2+b^2+ab)/4，
——》PQ=√(a^2+b^2+ab)/2，
cos∠CBD=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2*BC*BD)=(BS^2+BQ^2-SQ^2)/(2*BS*BQ)，
——》SQ^2=(a^2+b^2+ab)/4，
——》SQ=√(a^2+b^2+ab)/2，
S平分OD、P平分OA，——》SP=AD/2=√(a^2+b^2+ab)/2，
——》SP=SQ=PQ，
——》△SPQ为等边三角形。