Question

已知函数f(x)=x²(x∈[-2,2]),g(x)=a²sin(2x+π/6)+3a(x∈[0,π/2]),

∃x1∈[-2,2],∀x2∈[0,π/2],使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是？

Answer 1

x∈[0,π/2]
sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]
g(x)=a²sin(2x+π/6)+3a∈[-a²/2+3a,a²+3a]
f(x)=x²(x∈[-2,2])
f(x)∈[0,4]
∃x1∈[-2,2],∀x2∈[0,π/2],使得f(x1)=g(x2)成立

即交集不为空
交集为空时
a²+3a<0或4<-a²/2+3a
解得
-3<a<0或2<a<4
∴交集不为空
a<=-3或0<=a<=2或a>=4
实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[0,2]∪[4,+∞)
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