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第二十五届希望杯初一第二试答案

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Answer 1

第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初一　　第2试
一、选择题(每小题4分.)
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案B C A B C B B B A D
二、填空题(每小题4分.第19题每空2分.)
题号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案1.494×108 26 25 1
11 120° 13 10 45 3;6 464
三、解答题
21.设甲、丙两地间的距离为2s,A 、B、C、
D 的速度分别为a、b、c、d,依题意,得
84(a +b)=2s,
70(a +c)=s,
140(a -d)=s,
ì
î
í (5分)
即
a +b=
s
42,
a +c=
s
70,
a -d =
s
140,
ì
î
í
可得s
b-c =105,s
b+d =60,
故B 出发后60分钟时遇到D ,105分钟时追
上C. (10分)
22.所给的15个数的和为
1+2+3+ … +15=120,
设第一组有n(1≤n <15,n ∈N)个数,这n
个数的和为x(x 为正整数),
则第二组有15-n 个数,其和为120-x,
第二组数的平均数是120-x
15-n . (5分)
依题意有x =120-x
15-n ,
得x = 120
16-n,
易知16-n 是120的约数,
其中1≤n <15,
n =1,4,6,8,10,11,12,13,14. (8分)
当n =1时,x = 120
16-n =8,
此时第一组仅有一个数8,其余14个数在第二
组,合于要求;
当n =4时,x = 120
16-n =10,
此时第一组4个数的和是10,仅有1+2+3+4
=10成立,所以第一组的数是1,2,3,4,其余11
个数在第二组,合于要求;
当n =6时,x = 120
16-n =12,
而6个不同正整数的和的最小值是
1+2+3+4+5+6=21,
大于12,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =8时,x = 120
16-n =15,
而8个不同正整数的和的最小值是
1+2+3+4+5+6+7+8=36,
大于15,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =10时,x = 120
16-n =20,
而10个不同正整数的和的最小值是55,大于
20,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =11时,x = 120
16-n =24,
而11个不同正整数的和的最小值是66,大于
24,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =12时,x = 120
16-n =30,
而12个不同正整数的和的最小值是78,大于
30,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =13时,x = 120
16-n =40,
而13个不同正整数的和的最小值是91,大于
40,所以这样的x 取不到,分法不存在;
当n =14时,x = 120
16-n =60,
而14个不同正整数的和的最小值是105,大于
60,所以这样的x 取不到,分法不存在.(13分)
综上,满足条件的分组方法中第一组的数
是8,或是1,2,3,4. (15分)
23.(1)由AD +DE =AE,知
A 、D 、E 共线.
由AB +BC =AC,知A 、B、C 共线.
图1
从点E 作AB 的垂线EH ,
垂足为H ,则由△EAB 的
面积为24平方厘米,得
12
EH ·AB =24,
即8EH =48,
所以EH =6=EA .
故A 点与H 点重合,
因此EA ⊥AB,
即∠EAC =90°. (5分)
图2
(2)从点F 分别作
AE,AC 的垂线,垂足分别
是点G,K .设FG =x 厘
米,FK =y 厘米,则
{S△AEF +S△AFB =S△AEB ,
S△ADF +S△AFC =S△ADC ,
即{6x +8y =48,
5x +10y =50,
解得x =4,y =3.
在直角△AFK 中,
AK =FG =4厘米,FK =3厘米,
由AK2 +FK2 =AF2,得
AF2 =42 +32 =25,
所以AF =5(厘米). (10分)
(3)由AD =AF =5,
可得∠ADF =∠AFD .
因为AN 平分∠DAF,
所以∠DAN =∠FAN ,
于是∠ADF + ∠DAN
=∠AFD + ∠FAN
=12
×180°=90°,
所以∠DNA =180°-90°=90°.
又因为AP 平分∠FAC,
所以∠FAP =∠CAP ,
于是∠NAP =∠FAN + ∠FAP
=∠DAN + ∠PAC
=12
∠EAC =45°,
可得∠APN =180°- ∠ANF - ∠NAP
=45°,
所以∠NAP =∠APN ,
故AN =PN . (15分