Question

已知椭圆C的对称中心为原点o，焦点在x轴上，离心率e=1/2，，且点(1.3/2)在该椭圆上……

过椭圆C左焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，若三角形AOB的面积为七分之六倍根号二，求该直线方程及AB

Answer 1

离心率 e=c/a=1/2，即 a=2c，则 b=√3c；椭圆方程 x²/(2c)²+y²/(√3c)²=1；
将点 (1,3) 代入椭圆方程：3*1²+4*(3/2)²=12c²，∴c=1；从而 a=2，b=√3；
椭圆标准方程为 (x²/4)+(y²/3)=1；左焦点 F(-1,0)；
设过 F 的直线方程 y=k(x+1)，则其与坐标原点 O 的距离 h=|k|/√(k²+1)；
直线代入椭圆方程中：3x²+4[k(x+1)]²=12 → (3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0；
上列方程的两个根分别是 Xa、Xb；
|Xa-Xb|={√[(8k²)²-4*(3+4k²)(4k²-12)]}/(3+4k²)=12√(1+k²)/(3+4k²)；
三角形 AOB 的面积=|AB|*h/2={|Xa-Xb|*√(k²+1)*[|k|/√(k²+1)]}/2=6|k|√(1+k²) /(3+4k²)=6√2/7；
将上式两端平方并整理 17(k²)²-k²-18=0，解得 k²=13/17，k=±√(13/17)；
|AB|=|Xa-Xb|*√(k²+1)=12(k²+1)/(3+4k²)=12*(30/17)/[3 +(4*13/17)]=360/103；
l 方程：y=±√(13/17)*(x+1)；