Question

这个行列式怎么求

Answer 1

下面说两个原理性的东东，具体计算请恕未详。
解一：
用第一二两行找二阶子式，共六个；分别与其余子式相乘，取和。
解二：
将原矩阵A与单位矩阵E相并，写成
A,E
这是我曾答的一个题，供参考。请细读一下，相信可以为您开阔思路。

用行初等变换方法是一种较好的思路。（与之对称的用列初等变换也行）
利用行初等变换作用于方阵A，相当于对方阵A左乘了一个基本的初等变换矩阵。
这种变换方法，通常利用到了单位矩阵，但其实把原理弄清楚了，是可以活学活用的。

原理是：
增并矩阵(矩阵并列在一起，我也称为并矩阵。多个类同量并在一起，我称为并量。)
A|E ，或写成A,E
进行初等变换P后得到T，P
即P*(A,E)=(T=AP,P)

实际上，我们进行变换的过程中，处在P位的每一个矩阵，都在不知不觉的记录我们的变换动作。同时，它也就是累积起来的变换过程，即各个初等矩阵的积。
其实，我们不用单位矩阵E与原矩阵相并列，也是可以的，原理与上面相同；但是我们用单位阵能直接记录变换过程。

其实还可以这样做，
利用原来的行，做任意的非奇异变换（线性无关变换），得到一些行；
在变换得到的行中，挑出三个线性无关行，构成的矩阵如果形式简明，便于求解行列式，那么就容易求行列式的值了。
例如， P*(A,E)=(T,P)
即P*A=T, 当P与T的行列式均好求时，A的行列式就好求了。
当P为连续的基本初等变换时，行列式的值一直不变，从而|A|=T.

追问

谢谢你

追答

用第一二两行找二阶子式，共六个；分别与其余子式相乘，取和。
这一解是针对四阶行列式讲的。可以类推。从略。

追问

太谢谢了

如果按第一种方法找子式的余子式相乘取和的话，，针对这道题而言，是不大好算的是吗。

追答

外一则：用余子式，对奇数阶的，在左上角加上一个1，形成偶数阶来做。很方便。
对于此题，用余子式算，似乎有点复杂。我在想，将所有的二阶子式按顺序列成一个数表，试图发现他的性质，待研究。
另外，我在考虑将矩阵旋转45度角的倍数，而不是使用转置来分析，待研究。
另外，类似地, 考虑将局部元素循环移位,对调等变换对式值之影响，待研究。
设此行列式为n阶多项式f(x),利用多项式的一些性质来求,待分析。

下面说一种的方法。
此行列式主对角线为x, 右上侧为a,左下侧为-a=b
写成：
x a a ... a
b x a ... a
b b x ... a
...
b b b ... x
第一列不变，第二列开始各自减去下一列，形式简化了；再作行变换，变成三角矩阵，就好做了。