Question

等差数列{an}中,a3=3,a1+a4=5，若bn+1=（an/n+1）*bn，且b1=1，求数列{bn}的通项公式

Answer 1

解：
由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3=5，
结合a3=3可得a2=2，
∴公差d=3-2=1，
故数列{an}的通项公式为an=2+(n-2)×1=n
由此可得b(n+1)=(n/n+1)·bn，
∴b(n+1)/bn=n/(n+1)，
b2/b1=1/2，
b3/b2=2/3，
......
bn/b(n-1)=(n-1)/n，
由累乘法有：bn/b1=1/2×2/3×...×(n-1)/n=1/n，
∵b1=1，
∴数列{bn}的通项公式为bn=1/n(n∈N*).
【本题考查等差数列的通项公式，涉及累乘法和数列的递推公式.】
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Answer 2

等差数列{an}
其中a3=a1+2*q，a4=a1+3*q,q为差值；所以得到方程组
a1+2*q=a3=3-------等式1
a1+(a1+q*3)=5-----等式2
联立得到a1=1,q=1；{an}={1，2，3，4，5，6，...}或者an=n

等差数列{bn}
bn+1-bn=(an/n+1)*bn-bn=an/n=n/n=1,所以数列{bn}为等差数列，差值q`=1；
又b2=(a1/1+1)*b1=2*b1且b2=b1+1，所以b1=1
所以{bn}={1，2，3，4，5，...}或者{bn=n}

Answer 3

an=n
b(n+1)=an/(n+1)*bn=n/(n+1)*bn
b(n+1)/bn=n/(n+1)

b(n)/b(n-1)=(n-1)/n
b(n-1)/b(n-2)=(n-2)/(n-1)
:
b2/b1=1/2
上式两边相乘得
bn/b1=1/n
bn=1/n

Answer 4

an=a1+(n-1)d
2a3=a1+a5=6
a1+a4=5
相减得a5-a4=1=d
a3=a1+2d得a1=3-2=1
an=1+(n-1)=n
带入bn+1=（an/n+1）*bn
bn+1=(n/(n+1))bn=bn-(1/(n+1))bn
得bn=-n-1