Question

设L为圆周x^2+y^2=R^2的逆时针方向，则∮(2x^2)ydx+x(x^2+y^2)dy=？

Answer 1

则∮(2x^2)ydx+x(x^2+y^2)dy=a^4π/2

解答过程如下：

用参数法，原式=∮L2x^2ydx+a^2xdy

=∫∫a^4(cosθ)^2(1-2(sinθ)^2) (上限是2π,下限是0）

=∫∫a^4(1/2(cosθ)^2+1/2((1+c0s4θ)/2))

=a^4π/2

扩展资料

平面上对坐标的线积分（第二类线积分）计算常用有以下四种方法：

（1）直接法

就是将积分曲线关系直接带入度被积函数转化为单一变量积分！

（2）利用格林公式

应用格林公式一定要注意以下两点：

a.P(x,y),Q(x,y)在闭区间D上处处有连续一阶偏导数

b.积分曲线L为封闭曲线且取正向。

（3）补线后用格林公式

若要计算的线积分的积分曲线不封闭，但直接法计算不方便时，此时可补一条曲线，使原内曲线变成封闭曲线。

这里给个提示：再没有使用格林公式之前，积分曲线的变量关系可以随便带入积分表达式，一旦使用了格林公式，现在就成容了二重积分，就不再满足积分曲线的变量的等量关系了。