Question

已知抛物线x2=8y与椭圆x2+y2/a2=1有公共焦点F。 （1）过椭圆上一点P作抛物线C的切线

已知抛物线x2=8y与椭圆x2+y2/a2=1有公共焦点F。
（1）过椭圆上一点P作抛物线C的切线PA，PB，A，B，为切点，试比较|PF|的平方与|AF|乘|BF|的大小。

Answer 1

抛物线x^2=8y与椭圆x^2+y^2/a^2=1有公共焦点F(0,2),
∴a^2=1+4=5,
∴椭圆方程是x^2+y^2/5=1.
由x^2=8y得y'=x/4.设A(4a,2a^2),B(4b,2b^2),a≠b,则|AF|=2a^2+2,|BF|=2b^2+2,
切线PA的方程:y-2a^2=a(x-4a),即ax-y-2a^2=0,
同理，PB:bx-y-2b^2=0,
两个方程联立解得x=2a+2b,y=2ab.
∴P(2a+2b,2ab),P在椭圆上，
∴(a+b)^2+(ab)^2/5=1/4,①
∴|PF|^2-|AF|*|BF|=(2a+2b)^2+(2-2ab)^2-(2a^2+2)(2b^2+2)
=4[a^2+2ab+b^2+1-2ab+(ab)^2]-4[(ab)^2+a^2+b^2+1]
=0,
∴|PF|^2=|AF|*|BF|.
评：无须用到①，说明P可以是任意的。

追问

答案是等于啊！

追答

是.

追问

那你那个怎么是小于

追答

哪里有小于？

Answer 2

a2怎么会是1+4，明明就是1+a2=4好不好，a2=3。他乱来的，ㄧAFㄧ怎么会是2a2+2？基本概念都没有还来解题