Question

已知过抛物线y^2=2px(p>0）的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求证（1)x1x2为定值

Answer 1

解由题知抛物线的交点为（p/2,0)
设过焦点的直线的斜率为k
当k不存在时，AB垂直x轴，即A(p/2,p），B(p/2,-p）
即x1x2=p/2×p/2=p^2/4
当k存在时
故焦点的直线为y=k（x-p/2）
由y=k（x-p/2）
与y^2=2px
联立消y得
k^2(x^2-px+p^2/4)=2px
即k^2x^2-(k^2p-2p）x+k^2p^2/4=0
由根与系数的关系知
x1x2=c/a=（k^2p^2/4）/k^2=p^2/4
故综上知x1x2=p^2/4

Answer 2

1）令直线斜率为k
有l: y=k(x-p/2)
联立 y^=2px
k^x^-(k^p+2p)x+k^p^/4=0
x1+x2= p+2p/k^
x1x2=p^/4