Question

在正方形ABCD中，点F在CD上，射线AF交BD于点E交BC的延长线于点G

（1）过C作CH⊥CE，交FG于H，求证FH=GH（2）设AD=1，DF=x，试问是否存在X的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请写出X的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

(1)证明：△ADE≌△CDE，所以∠DAE=∠DCE，又因为CH⊥CE，DC⊥CG，AD⊥DC，AD∥CG，则∠DCE+∠FCH=∠DAE+∠FCH=∠G+∠FCH=90°，∠FCH+∠HCG=90°，∠CFG+∠G=∠CFG+∠DAE=∠CFG+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠HCG=∠G，∠FCH=∠CFG，所以CH=GH，CH=FH，即FH=GH。（2）存在，x=1/2.解：因为△ADE≌△CDE，所以AE=EC，∠DCE=∠DAE，又因为AD∥BC，所以AE/EG=AD/BG ，
又因为∠DCE=∠DAE=∠G，FH=GH，△ECG为等腰三角形，则CG=CF,所以∠G=∠CEG=∠DCE，
所以FC=EF=FH=HG=DC-DF=AD-DF=1-x ，又因为AD∥CG，则AF/FG=DF/FC ，即AF/2(1-x)=x/(1-x),
所以AF=2x ,
又因为在Rt△ADF中，AD^2+DF^2=AF^2,所以4x^2=x^2+1 ，3x^2=1,
因为x>0,所以x=√3/3 。