Question

求解数学立体几何题

三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直且相等,点P,Q分别是BC,OA上的动点，且满足1/3BC≤BP≤2/3BC，1/3OA≤OQ≤2/3OA,则PQ和OB所成角余弦值取值范围

Answer 1

∵OA、OB、OC两两垂直且相等

以O为原点，分别OB,OC,OA为x,y,z轴建立坐标系  

设OA=OB=OC=3，P(m,n,0) Q(0,0,k)

∵1/3BC≤BP≤2/3BC   ,1/3OA≤OQ≤2/3OA，

∴ 1<m<2,1<n<2,m+n=3,1<k<2 

向量PQ=（-m,-n,k),向量OB=（3，0，0）

cos<PQ,OB>=-3m/[3√(m²+n²+k²)]

  =-m/√(2m²-6m+9+k²)

=-1/√(2-6/m+9/m²+k²/m²)

设1/m=t,t∈(1/2,1)

2-6/m+9/m²+k²/m²

=(9+k²)t²-6t+2

 t=3/(9+k²)∈（3/13，3/10)

∴(9+k²)t²-6t+2为关于t的递增函数

  是关于k的递增函数

∵k,m独立取值，不相关

∴k=2,t=1时，(9+k²)t²-6t+2=9

   k=1,t=1/2时， (9+k²)t²-6t+2=3/2

∴3/2<(9+k²)t²-6t+2<9

∴  √(3/2)<√[(9+k²)t²-6t+2 ]<√3

∴     √3/3<1/√[(9+k²)t²-6t+2 ]<√6/3

∴PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围

 (√3/3,√6/3)

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