Question

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx． （1）若a为实数，试求函数F（

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．
（1）若a为实数，试求函数F（x）=f（x）+ag（x），x∈[0，
π
2
]的最小值h（a）；
（2）若存在x0∈[0，
π
2
]，使|af（x）-g（x）-3|＜＝
1
2
成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

设函数f（x）=sinx+cosx和g（x）=2sinxcosx．
（1）若a为实数，试求函数F（x）=f（x）+ag（x），x∈[0，π/2]的最小值h（a）；
（2）若存在x0∈[0，π/2]，使|af（x）-g（x）-3|＜＝1/2成立，求实数a的取值范围．
(1)F(x)=sinx+cosx+2asinxcosx
设t=sinx+cosx,
则t^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
所以2sinxcosx=t^2-1
又t=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=√2sin(x+π/4)
∵x∈[0，π/2] ,x+π/4∈[π/4,3π/4]
∴ sin(x+π/4)∈[√2/2,1]
∴t∈[1,√2]
∴F(x)=y=t+a(t^2-1)=at^2+t-a
当a=0时，y=t∈[1,√2] ，h(a)=1
当a>0时，
y=a[t+1/(2a)]^2-a-1/(4a)
在[1,√2]上递增，t=1时，ymin=1,

当a<0时，-1/(2a)与区间[1,√2]的中点比较
当-1/(2a)≤(√2+1)/2,即 a≤1-√2时，
t=√2时，ymin=a+√2

当-1/(2a)>(√2+1)/2,即 1-√2<a<0时，
t=1时，ymin=1
综上所述，
h(a)={ 1, a>1-√2
{ a+√2 ,a≤1-√2

(2)
存在x0∈[0，π/2]，使得 |af（x）-g（x）-3|＜＝1/2
即|asinx+acosx-2sinxcosx-3|≤1/2
即存在t0∈[1,√2]使得|at-(t^2-1)-3|≤1/2
即 |t^2-at+2|≤1/2成立
也就是 -1/2≤t^2-at+2≤1/2成立

由 t^2-at+2≤1/2
==> at≥t^2+3/2
==>a≥t+3/(2t)
∵ t∈[1,√2], t+3/(2t)递增
∴ t+3/(2t) ∈[5/2,7√2/4]
∴a≥5/2

由 t^2-at+2≥-1/2
==> at≤t^2+5/2
==>a≤t+5/(2t)
∵ t∈[1,√2], t+5/(2t)递增
∴ t+5/(2t) ∈[7/2,9√2/4]
∴a≤9√2/4

∴5/2≤a≤9√2/4