Question

已知AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，AD⊥DC于点D，AD交⊙O于点E。若CD=12，AD=16，

已知AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，AD⊥DC于点D，AD交⊙O于点E。若CD=12，AD=16。
(1)求BD的长？ (2)求tan∠BDC，tan∠ADB的值。 (3)求sin∠ABD的值。 (4)延长CO交⊙O于点N，求tan∠ADN的值。 (5)连接BC，求tan∠CBD的值。

Answer 1

1)连接BC，∵DC是切线，由弦切角定理：∠DCA = ∠CBA，且DC^2 = DE·DA，∴DE=9，AE=7
∵AB是直径，∴∠AEB=∠ACB=90°，∴∠DAC=∠CAB，∴△DCA∽△CBA，
∴DA/CA = CA/BA，根据勾股定理，CA = 20，∴直径AB = 400/16 = 25，∵AE=7，∴BE=24
∵DE=9，∴BD = 3√73
2)tan∠ADB = tan∠EDB = BE/DE = 8/3，∵∠AEB=∠ADC=90°∴CD∥BE∴∠BDC = ∠DBE
∴tan∠BDC = tan∠DBE = 3/8
3)根据正弦定理，AD/sin∠ABD = AB/sin∠BDE，∴16/sin∠ABD = 25/(8/√73)
∴sin∠ABD = 128/(25√73)
4)∵DC是切线，∴∠DCN + ∠ADC = 90° + 90° = 180°，∴AD∥CN，∴tan∠ADN = tan∠DNC
= DC/CN = 12/25
5)由勾股定理易得BC = 15，∵∠CBD<∠CBA<∠ACB = 90°，∴cos∠CBD>0，根据正弦定理
BC/sin∠BDC = CD/sin∠CBD，根据2)算得，sin∠BDC = 3/√73，∴sin∠CBD = 12/(5√73)