Question

求解3道概率论与数理统计题的答案

1、某车间有一台自动装米机，生产中规定每袋标准重量为100斤，设每袋米的重量X~N（u，9）。某天从所包装的米中任意取16袋，测得这16袋的平均袋重为98.6斤，假设总体的方差未变，问该装米机的工作是否正常（阿发a=0.05）？
2、设某次考试的学生成绩服从正太分布，从中随机性抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
3、已知维尼纶纤度在正常条件下服从方差 o^2=0.044^2 （就是塞它的平方等于0.044的平方）的正态分布，某日随机抽取6根纤维，测得其纤度为1.35 1.50 1.56 1.48 1.44 1.53，问该日纤度的总体方差是否仍为0.044^2(阿发a=0.05)？

求解给个详细答案。题目是安徽大学出版社概率论与数理统计（理工类） 的第七章1,2,12题。主编是杜先能 孙国正。大神尽量快点做出来。谢了~

Answer 1

1. 第一步，H0：u（均值mu）=100；H1：u不等于100

   第二步，由于方差o^2已知为9，所以用U统计量，U=(X_bar - u)/(o/根号n)……其中，X_bar为X上面加一横，是X的均值，o为标准差。于是统计量U服从于N（0,1）。

   第三步，拒绝域为W={U的绝对值 > u(1-a/2)}。

   第四步，分别计算拒绝域中的量，U的绝对值=l（98.6-100）/（3/4）l =1.867，u(1-a/2)=u(0.975)=1.96。所以拒绝域中的“>”不成立，所以不拒绝原假设，认为该装米机的工作正常。

2. H0：u（均值mu）=70；H1：u不等于70

   由于方差o^2未知，所以用t统计量，t=(X_bar - u)/(s/根号n)……其中，s为样本标准差。于是统计量服从于t（n-1）=t（35）。

   拒绝域为W={l t l > t (1-a/2)(n-1)}={l t l > t (0.975)(35)}

   计算：l t l = l （66.5-70）/ （15/6） l =1.4， t (0.975)(35)=2.0301。所以拒绝域中的“>”不成立，所以不拒绝原假设，认为这次考试全体考生的平均成绩为70。

3. H0：o^2=0.044^2；H1：o^2不等于0.044^2

   由于均值未知，所以用卡方统计量（用X^2表示吧），X^2=(n-1)S^2 / o^2。它服从于X^2（n-1）=X^2（5）。

   拒绝域为W={X^2 < X^2(a/2)(n-1) 或 X^2 > X^2(1-a/2)(n-1)}={X^2 < X^2(0.025)(5) 或 X^2 > X^2(0.975)(5)}。

   计算：对样本有：x_bar=1.477，S^2=0.0745，所以X^2=5*0.0745/0.044^2=192.347（不知道算错没。。。）。而X^2(0.025)(5)=0.831，X^2(0.975)(5)=12.833。落入拒绝域，所以拒绝原假设，认为该日纤度的总体方差不是仍为0.044^2。