Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2

若二面角B-PC-D的余弦值为 -(根号2)/3 ,求四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

以AB,AP为x,z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0),C(2，1，0),D(1，1，0),设P(0，0，h),则
向量CP=(-2，-1，h),BC=(0,1,0),DC=(1,0,0),
设平面PBC的法向量m=(n,p,1),则m*CP=-2n-p+h=0,m*BC=p=0,n=h/2,m=(h/2,0,1).
平面PCD的法向量q=(r,s,1),则q*CP=-2r-s+h=0,q*DC=r=0,s=h,q=(0,h,1),
mq=1,|m|=√(h^2+4)/2,|q|=√(h^2+1),
二面角B-PC-D的余弦值为 -√2/3，
∴cos<m,q>=1/[√(h^2+4)/2*√(h^2+1)]=√2/3，
平方得18=(h^2+4)(h^2+1),
整理得h^4+5h^2-14=0,h>0,
解得h^2=2,h=√2，
梯形ABCD的面积S=(1/2)(AB+CD)*BC=3/2,
∴四棱锥P-ABCD的体积=(1/3)Sh=√2/2.