Question

线性代数，求伴随矩阵通解的问题

Answer 1

A =
[1 2 3]
[0 1 1]
[a b c]
行初等变换为
[1 2 3]
[0 1 1]
[0 b-2a c-3a]
r(A)=2, 则 b-2a=c-3a, 得 c=a+b。
A =
[1 2 3]
[0 1 1]
[a b a+b]
伴随矩阵 A* =
[ a b-2a -1]
[ a b-2a -1]
[-a 2a-b 1]
行初等变换为
[ a b-2a -1]
[ 0 0 0]
[ 0 0 0]
线性方程组 (A*)x=0 化为
x3=ax1+(b-2a)x2,
取 x1=1, x2=0, 得基础解系 (1, 0, a)^T;
取 x1=2, x2=1, 得基础解系 (2, 1, b)^T.
则通解是 x=k(1, 0, a)^T+h(2, 1, b)^T，
其中 k，h 为任意常数。

追问

有没有什么方法可以不去求伴随矩阵吗？

追答

r(A)=n-1, 则 r(A*)=1。
故本题可简化只求 A* 的一行，即 A 的一列元素的代数余子式。
不求 A*，还没想到好办法。