Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax/x+2。①当a=0时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax/x+2。①当a=0时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程②当a＞0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性

Answer 1

Answer 2

1）a=0时，f(x)=ln(1+x)
f(0)=ln1=0
f'(x)=1/(1+x)
f'(0)=1
在原点处的切线为:y=f'(0)(x-0)+0,即y=x
2)f'(x)=1/(1+x)-2a/(x+2)^2
=[(x+2)^2-2a(1+x)]/[(1+x)(x+2)^2]
=[x^2+(4-2a)x+4-2a]/[(1+x)(x+2)^2]
讨论g(x)=x^2+(4-2a)x+4-2a=0的判别式：
△=(4-2a)^2-4(4-2a)=4a(a-2)
当0<a<=2时，△<=0,则有g(x)>=0,则f'(x)>=0,即f(x)在x>0上单调增；
当a>2时，△>0,g(x)有2不等根，因两根积=4-2a<0,即为一正一负，记正根x1=a-2+√[a(a-2)],
则当0<x<x1时，f(x)单调减；当x>x1时，f(x)单调增。