工程问题
1
．使学生掌握工程问题的特点和解答方法，并能解答有关的简单实际问题。
2
．培养学生的观察、比较以及分析的综合能力
1
．使学生理解、掌握把工作总量看成单位
“1”
。用单位时间内完成工作总量的几分之一表
示工作效率。
2
．理解工程问题的数量关系，掌握解答方法。
作业完成情况：优□
良□
中□
差□
建议
__________________________________________
工程问题是分数应用题的一种特殊形式。它的特点是把具体的数量加以概括、提炼、
隐去具体的数量，具体的总做总量，具体的工作总量用单位“
1
”表示，具体的工作效率
用单位时间内完成工作总量的几分之一表示。
同时工程问题与整数的工作问题有着密切的
联系，他们研究的都是工作量、工作效率、工作时间之间的相互关系。他们基本数量关系
都是：
工作总量
÷
工作效率和
=
工作时间
工作总量
÷
工作时间
=
工作效率和
工作效率和×工作时间
=
工作总量
当一件工作有二人以上共同完成时，工作量就变成了“工作总量”，工作效率就变成
了“工作效率和”，工作时间就变成了“合作时间”。
(
一
)
复习准备
1
．复习旧知。
张师傅
4
小时做了
200
个零件，平均每小时做多少个零件？
(200÷
4=50(
个
))
(1)
问：
50
个表示什么？
生：
50
个表示每小时做的个数，就是张师傅的工作效率
。
(2)
张师傅
4
小时做了
20
个零件，
1
小时完成这些零件的几分之几？
20
÷
4=5
（个）
5
÷
20=1/4
2
．导入。
准备题
一段公路
30
千米，甲队单独修
10
天完成，乙队单独修
15
天完成，甲、乙
两队合修，几天可以完成？
(1)
分析：
①让学生读题，并理解题意。
②提问：要想求合修几天可以完成，要先求什么？
生：先求两队的工作效率和。
③学生独立完成。
④
30÷
(30÷
10
＋
30÷
15)=6(
天
)
⑤运用哪种数量关系？
工作总量
÷
工作效率和
=
工作时间
(2)
将
“30
千米
”
改成
“60
千米
”
，怎样解答？
60÷
(60÷
10
＋
60÷
15)=6(
天
)
(3)
将
“60
千米
”
改成
“90
千米
”
，怎样解答？
90÷
(90÷
10
＋
90÷
15)=6(
天
)
问：在做这
3
道题的时候，你发现了什么吗？
生：结果都是
6
天。
师：刚才，我们把工作总量
“30
千米
”
改成
“60
千米
”
，再改成
“90
千米
”
，最后结果都
是一样的。
如果工作总量改成
“10
千米
”
呢？
“120
千米
”
呢？
“150
千米呢
”
？
(
结果都是
6
天
)
生
1
：工作总量扩大了，工作效率也在扩大，而且扩大的倍数相同，所以时间不变
……
生
2
：无论公路长多少，甲乙两队每天修的各自占总长的几分之几没变，
……
师：既然工作总量发生变化而工作时间却不变。那么，我们能不能把工作总量的具体
数量去掉呢？这就是我们今天要学习的新知识
——
工程问题。
(
板书：工程问题。
)
(
二
)
学习新课
1
．出示例
1
。
例
1
修一段公路，甲队单独修
10
天完成，乙队单独修
15
天完成，两队合修，几
天可以完成？
请同学读题，理解题意。
师：这道题与刚才的练习题
(
指有具体数量的
3
道题
)
有什么区别吗？
生：例
1
的工作总量没有具体数量。
师：那么，怎么办呢？请同学们看讨论题互相讨论一下。
2
．讨论：
(1)
工作总量可以怎么表示？
(2)
甲、乙的工作效率又可以怎么表示？
(3)
甲、乙合修的工作效率和是什么？
给学生充分的讨论时间，使学生真正理解工程问题的特点。
3
．学生汇报讨论结果。
(1)
工作总量可以用
“1”
表示。
师提示：甲、乙的
工作效率实际就是它们单独完成工作量的时间分之一
。
师：好了，我们的问题有了答案，工作总量可以用
“1”
表示；工
“
率
”
来表示工作总量及工作效率。
4
．解答。
先由学生自己解答，学生做完后，找一个同学汇报，教师写列式、过程。
答：两队合修
6
天可以完成。
5
．例
1
与准备题比较。
问：例
1
与刚才做的准备题比有什么共同点、不同点吗？
教师归纳
总结
：
共同点是思路一致，数量关系相同。
表示的，都是用
“
率
”
来表示的。
例
2
、小红打印一份文件，需要
5
小时。要打印这份文件的
2/3
需要多少小时？
分析一：要求这个问题需要知道工作总量和总做效率，这时的工作总量不是“
1
”，
而是这份稿件的
2/3
，工作效率是
1/5
，用工作总量
÷
工作效率即可求出。
解一：
2/
3
÷
1/5=10/3
（小时）
分析二：问题要求打印这份稿件的
2/3
所用的时间，我们也可以先求出打印完这份稿
件的时间，再求总时间的
2/3
是多少时间。
解二：
1
÷
1/5
×
2/3=10/3
（小时）
答：打印这份文件的
2/3
需要
10/3
小时。
例
3
、甲、乙两人合作加工一批零件，需
25
天完成。先由甲单独加工
10
天，再由乙
单独加工
30
天，这时共加工了这批零件的
3/4.
乙每天能加工这批零件的几分之几？
分析：已知“甲乙两人合作，需
25
天完成”，可以看出甲乙两人的工作效率和是
1/
25.
而两人的工作方式是甲先单独完成
10
天，
然后乙在单独做
30
天，
我们可以把乙单独做
的
30
天转化为与甲合作
10
天，在单独做
30-10=20
天，这样就可以求出合作的工作量，
再根据一共加工了这批零件的
3/4
，就可以求出乙单独
20
天的工作量，进而可求出乙的工
效。
解：（
3/4-1/2
5
×
10
）÷（
30-10
）
=7/400
答：乙每天加工这批零件的
7/400
。
例
4
、一段公路，甲队独修需
15
天，甲乙两队从这段公路的两端同时和修
5
天后，还
相距
15
千米。这段公路长多少千米？
分析：这道题是工程问题与分数应用题的结合，从已知条件入手，我们很容易求出
3
天修了这段公路的几分之几，题目中还告诉我们“还相距
15
千米”，这时就要用分数应
用题的“剩下的工作量与剩下的工作量占单位
1
的几分之几相互对应”这一思想来解决。
解：
15
÷【
1-
（
1/20+1/15
）×
5
】
=36
（千米）
答：这段公路长
36
千米。
(
三
)
巩固反馈
练习题：
（1）一般公式：
工效×工时=工作总量；工作总量÷工时=工效；工作总量÷工效=工时。
工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷ 工作时间＝工作效率
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几；
1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。）
工作效率，一般是指工作的投入与产出比，通俗地讲就是，在进行某个任务时，取得的成绩与所用时间、精力、金钱等的比值。产出大于投入，就是正效率，产出小于投入，就是负效率。提高工作效率就是要求正效率值不断增大。
工作效率是评定工作能力的重要指标。通常，各企业对自己员工的工作效率都有一定的要求，当员工工作效率过低时，企业就会辞退员工或者让员工主动请辞。而相反地，若员工的工作效率高，就会为企业带来额外利润，当然，企业会给予工资、地位的提升。不论企业高层是真的惜才还是怕该员工跳槽，这是必然的。所谓优胜劣汰，在当今社会表现得淋漓尽致。因此，提高工作效率不仅是社会对我们的要求，更是我们实现自身价值的重要途径。
思路一：15+16+18+19+20+31=119；119-15=104；119-16=103；119-18=101； 119-20=99；119-19=100；119-31=88；其中的差只有99能被3整除，即能分成3份，所以是20。
思路二：一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,两个顾客买的货物重量之和则是3倍，货物重量之和应当可以被3整除。
六箱货物总重量：
15+16+18+19+20+31=119千克
119÷3=39...2
六箱货物中，只有当重量为20千克时，余数为2：20÷3=6...2
所以，商店剩下的一箱货物重量是千克20千克。
思路二：一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,两个顾客买的货物重量之和则是3倍，货物重量之和应当可以被3整除。
六箱货物总重量：
15+16+18+19+20+31=119千克
119÷3=39...2
六箱货物中，只有当重量为20千克时，余数为2：20÷3=6...2
所以，商店剩下的一箱货物重量是千克20千克。
你发错地方了把？
1？3是什么意思
1/3
函数对称轴为 x = a，只要区间不包含对称轴即可，
因此 a ≤ 1 或 a ≥ 2 。
