Question

线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关

Answer 1

你好，很高兴为您解答

证明：向量组a1,a2,a3,b1,b2一定线性相关，所以存在不全为零的实数x1,x2,x3,y1,y2使得x1a1+x2a2+x3a3+y1b1+y2b2=0，即x1a1+x2a2+x3a3=-y1b1-y2b2。
则b1,b2不能全为零，否则x1a1+x2a2+x3a3=0，因为a1,a2,a3线性无关，所以x1,x2,x3全为零，所以x1,x2,x3,y1,y2全为零，矛盾。
所以y1,y2不能全为零。

a1,a2,a3与b1,b2都正交，所以x1a1+x2a2+x3a3与b1,b2都正交，所以x1a1+x2a2+x3a3与y1b1+y2b2正交，所以(x1a1+x2a2+x3a3,y1b1+y2b2)=(-(y1b1+y2b2),y1b1+y2b2)=-y1b1+y2b2,y1b1+y2b2)=0，所以y1b1+y2b2=0。
因为y1,y2不全为零，所以b1,b2线性相关。

希望能够帮助到你，期待您的采纳，谢谢